彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度設(shè)計(jì)20xx3系3-6班(已修改)
2025-01-19 12:57 本頁(yè)面
【正文】 第六章 彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度設(shè)計(jì) 本章重點(diǎn) 彎曲正應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算 彎曲切應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算 兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲 提高梁彎曲強(qiáng)度的措施 167。 61 彎曲正應(yīng)力及其強(qiáng)度條件 一、 彎曲 正應(yīng)力 工程中以彎曲變形為主的桿件稱為 縱向?qū)ΨQ面： 梁的軸線與橫截面的對(duì)稱軸所構(gòu)成的平 面 對(duì)稱彎曲 ： 當(dāng)作用在梁上的載荷和支反力均位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，梁的軸線由直線彎成一條位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的曲線。 純 彎 曲 P PSFMa al= 0 =SFM ， 常 數(shù)00SFM≠ ， ≠橫力彎曲 ： P PC DA BPPPa? d A? d A M?dA?dAd SAF? ?? ? MSF? ?d SAF? ?? d A M???在橫截面上，只有法向內(nèi)力元素 dFN =σdA才能合成 彎矩 M，只有切向內(nèi)力元素 d =τdA才能合成剪力 SFSF純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力 從三方面考慮： 變形 幾何 關(guān)系 物理 關(guān)系 靜力學(xué) 關(guān)系 a ab bm nm nM MM M變形幾何關(guān)系 (1)aa、 bb彎成弧線， aa縮短， bb伸長(zhǎng) (2)mm、 nn變形后仍保持為直線，且仍與變?yōu)榛? 線的 aa， bb垂直 (3)部分縱向線段縮短，另一部分縱向線段伸長(zhǎng) 。 梁在純彎曲時(shí)的 平面假設(shè) ： 梁的各個(gè)橫截面在變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。 觀察到以下變形現(xiàn)象 : 再作單向受力假設(shè)：假設(shè)各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單向受拉或受壓的狀態(tài)。 推論： 梁在彎曲變形時(shí)，上面部分縱向纖維縮短，下面部分縱向纖維伸長(zhǎng)，必有一層縱向纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短 ,保持原來(lái)的長(zhǎng)度，這一縱向纖維層稱為 中性層 。 中性層與橫截面的交線稱為 中性軸 中性層 中性軸 中性層 z ?? ? ? ?? ??? ?( )y d ddyzdxyd?y??y?物理關(guān)系 ? ?? E ? E y? 正應(yīng)力與它到中性層的距離成正比， 中性層上的 正應(yīng)力為零 ( 中性層 y = 0 ) 上式只能用于定性分析，而不能用于定量計(jì)算： 1） 由于中性軸 z 的位置未確定，故 y 無(wú)法標(biāo)定； 2）式中 ?未知 .（若已知 M， ?與 M有何關(guān)系？） 靜力學(xué)關(guān)系 ?dAdNAFA?? ?M z AyA? ?? ? dM y AzA? ?? ? d?0?0? M設(shè)中性軸為 z d0NAFA???? ? ?? EyAA ?d 0 0d ?? ?AAyE?0??? zASy d A必過截面形心中性軸 Zy z 橫截面對(duì) z軸的靜矩 M M z AyA? ? ?? ? d 0 0d ?? ????AAz y dAEAyEz??0??? ? yzAIz y dAM y A MzA? ? ?? ? d ? ? ?? y EyA MA ?d1zMEI??令： ??Az dAyI2截面對(duì) yz 軸的慣性積 截面對(duì) z 軸的慣性矩 由于 y為對(duì)稱軸 , 上式自然滿足。 1??MEI z? ?M yI z正應(yīng)力計(jì)算公式： 中性軸過截面形心 中性層的曲率公式： 1）沿 y 軸線性分布，同一 坐標(biāo) y 處，正應(yīng)力相等。中 性軸上正應(yīng)力為零。 2）中性軸將截面分為受 拉、受壓兩個(gè)區(qū)域。 3）最大正應(yīng)力發(fā)生在距 中性軸最遠(yuǎn)處。 Z 1m a xZMyI? ? ??y y y1 2? ? m a x當(dāng)中性軸是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)： 2m a xZMyI? ? ??m a x m a x m a x????????MW Z? m a x m a x?M yI Z橫截面上的最大正應(yīng)力： Wz:抗彎截面模量 WIyzz?ma xy2 y1 y 公式適用條件： 1）符合平面彎曲條件 (平面假設(shè)，橫截面具有一對(duì)稱軸） 2） ???p(材料服從胡克定律） 對(duì)于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面產(chǎn)生剪切變形，使橫截面發(fā)生翹曲，不再保持為平面。 彈性力學(xué)精確分析結(jié)果指出：當(dāng)梁的 跨高比大于 5時(shí)，剪應(yīng)力和擠壓應(yīng)力對(duì)彎曲正應(yīng)力的影響甚小，可以忽略不計(jì)。因此由純彎曲梁導(dǎo)出的正應(yīng)力計(jì)算公式，仍可以應(yīng)用于橫力彎曲的梁中，誤差不超過 1%。 橫力彎曲時(shí)，彎矩不再是常量。 ()zM x yI???圓環(huán)： D y z d 444464 64( 1 )64yz zzI I I IDdD????? ? ?????大 小Dd??其中復(fù)習(xí) Ib hZ ?312IdZ ?? 46444 44() ( 1 )6 4 6 4ZD d DI ?? ??? ? ?26ZbhW ?332ZdW ??34( 1 )32ZDW ? ???Z b h Z Z d D d 例 1： 圖示工字形截面外伸梁受均布荷載作用，試求當(dāng)最大正應(yīng)力為最小時(shí)的支座位置。 a l a q ⊕ 解： 作彎矩圖 282q l q la?22qa22qa支座位置 ?直接影響支座截面和跨中截面上的彎矩值。當(dāng)中性軸為截面的對(duì)稱軸，最大拉、壓應(yīng)力相等時(shí)，只有支座處截面與跨中截面之彎矩的絕對(duì)值相等，才能使該梁的最大彎矩的絕對(duì)值為最小，從而使其最大正應(yīng)力為最小。 228 2 2q l q la q a??取有效值 0 .2 0 7al??二、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件 ? ?m a x???強(qiáng)度條件： 等直梁 強(qiáng)度條件 ? ?m a xm a xzMW???? 對(duì)于鑄鐵等脆性材料，抗拉和抗壓能力不同，所以有許用彎曲拉應(yīng)力和許用彎曲壓應(yīng)力兩個(gè)數(shù)值。 強(qiáng)度條件為： ? ?m a x??? ??? ?m a x??? ??請(qǐng)注意： 梁的最大工作拉應(yīng)力和最大工作壓應(yīng)力有時(shí)并不發(fā)生在同一截面上。 一般情況下，許用彎曲正應(yīng)力比許用拉 (壓 )應(yīng)力略高。因?yàn)?
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