部分專題三第二講高考中的數(shù)列解答題型(已修改)
2025-01-19 10:09 本頁(yè)面
【正文】 專題三 第 二講 導(dǎo)練 感悟高考 熱點(diǎn) 透析高考 沖刺 直擊高考 熱點(diǎn)一 熱點(diǎn)二 熱點(diǎn)三 做考題 體驗(yàn)高考 析考情 把脈高考 通法 —— 歸納領(lǐng)悟 熱點(diǎn)四 返回 返回 返回 返回 [做考題 體驗(yàn)高考 ] 1． (2022陜西高考 )設(shè) {an}是公比不為 1的等比數(shù)列，其前 n項(xiàng) 和為 Sn，且 a5， a3， a4成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列 {an}的公比； (2)證明：對(duì)任意 k∈ N＋ ， Sk＋ 2， Sk， Sk＋ 1成等差數(shù)列． 解： (1)設(shè)數(shù)列 {an}的公比為 q(q≠0， q≠1)，由 a5， a3， a4成等差數(shù)列，得 2a3＝ a5＋ a4，即 2a1q2＝ a1q4＋ a1q3， 由 a1≠0， q≠0得 q2＋ q－ 2＝ 0，解得 q1＝－ 2， q2＝ 1(舍去 )，所以 q＝－ 2. 返回 (2) 證明： 法一： 對(duì)任意 k ∈ N ＋ ， Sk ＋ 2＋ Sk ＋ 1－ 2 Sk ＝ ( Sk ＋ 2－ Sk) ＋ ( Sk ＋ 1－ Sk) ＝ ak ＋ 1＋ ak ＋ 2＋ ak ＋ 1 ＝ 2 ak ＋ 1＋ ak ＋ 1( － 2) ＝ 0 ， 所以，對(duì)任意 k ∈ N ＋ ， Sk ＋ 2， Sk， Sk ＋ 1成等差數(shù)列． 法二 ： 對(duì)任意 k ∈ N ＋ ， 2 Sk＝2 a1? 1 － qk?1 － q， Sk ＋ 2＋ Sk ＋ 1＝a1? 1 － qk ＋ 2?1 － q＋a1? 1 － qk ＋ 1?1 － q 返回 ＝a1? 2 － qk ＋ 2－ qk ＋ 1?1 － q， 2 Sk－ ( Sk ＋ 2＋ Sk ＋ 1) ＝2 a1? 1 － qk?1 － q－a1? 2 － qk ＋ 2－ qk ＋ 1?1 － q ＝a11 － q[2(1 － qk) － (2 － qk ＋ 2－ qk ＋ 1)] ＝a1qk1 － q( q2＋ q － 2) ＝ 0 ， 因此，對(duì)任意 k ∈ N ＋ ， Sk ＋ 2， Sk， Sk ＋ 1成等差數(shù)列． 返回 2． (2022山東高考 )在等差數(shù)列 {an}中， a3＋ a4＋ a5＝ 84， a9＝ 73. (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； (2)對(duì)任意 m∈ N*，將數(shù)列 {an}中落入?yún)^(qū)間 (9m,92m)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為 bm，求數(shù)列 {bm}的前 m項(xiàng)和 Sm. 解： (1)因?yàn)?{an}是一個(gè)等差數(shù)列， 所以 a3＋ a4＋ a5＝ 3a4＝ 84，故 a4＝ 28. 設(shè)數(shù)列 {an}的公差為 d， 則 5d＝ a9－ a4＝ 73－ 28＝ 45，故 d＝ 9. 由 a4＝ a1＋ 3d得 28＝ a1＋ 3 9，即 a1＝ 1. 所以 an＝ a1＋ (n－ 1)d＝ 1＋ 9(n－ 1)＝ 9n－ 8(n∈ N*)． 返回 (2) 對(duì) m ∈ N*，若 9m an92 m， 則 9m＋ 89 n 92 m＋ 8 . 因此 9m － 1＋ 1 ≤ n ≤ 92 m － 1. 故得 bm＝ 92 m － 1－ 9m － 1. 于是 Sm＝ b1＋ b2＋ b3＋ … ＋ bm ＝ (9 ＋ 93＋ … ＋ 92 m － 1) － (1 ＋ 9 ＋ … ＋ 9m － 1) ＝9 ? 1 － 81m?1 － 81－? 1 － 9m?1 － 9 ＝92 m ＋ 1－ 10 9m＋ 180. 返回 3 ． (2022 廣東高考 ) 設(shè)數(shù)列 { a n } 的前 n 項(xiàng)和為 S n ，滿足 2 S n ＝ a n ＋ 1 － 2n ＋ 1＋ 1 ， n ∈ N*，且 a 1 ， a 2 ＋ 5 ， a 3 成等差數(shù)列． (1) 求 a 1 的值； (2) 求數(shù)列 { a n } 的通項(xiàng)公式； (3) 證明：對(duì)一切正整數(shù) n ，有1a 1＋1a 2＋ … ＋1a n32. 解： (1)當(dāng) n＝ 1時(shí)， 2a1＝ a2－ 4＋ 1＝ a2－ 3， ① 當(dāng) n＝ 2時(shí)， 2(a1＋ a2)＝ a3－ 8＋ 1＝ a3－ 7， ② 又因?yàn)?a1， a2＋ 5， a3成等差數(shù)列， 所以 a1＋ a3＝ 2(a2＋ 5)， ③ 由①②③得 a1＝ 1. 返回 (2) ∵ 2 Sn＝ an ＋ 1－ 2n ＋ 1＋ 1 ， ∴ 當(dāng) n ≥ 2 時(shí)，有 2 Sn － 1＝ an－ 2n＋ 1. 兩式相減得 an ＋ 1－ 3 an＝ 2n，則an ＋ 12n －32an2n － 1＝ 1 ， 即an ＋ 12n ＋ 2 ＝32????????an2n － 1＋ 2 . 又 ∵a120 ＋ 2 ＝ 3 ， ∴??????????an2n － 1＋ 2 是首項(xiàng)為 3 ，公比為32的等比數(shù)列， ∴an2n － 1＋ 2 ＝ 3??????32n － 1， 返回 即 an＝ 3n－ 2n， n ＝ 1 時(shí)也適合此式， ∴ an＝ 3n－ 2n. (3) 證明：由 (2) 得1an＝13n－ 2n ＝1? 2 ＋ 1 ?n－ 2n ＝ 1C1n2n － 1＋ C2n2n － 2＋ … ＋ 11n 2n － 1 ， 所以1a1＋1a2＋ … ＋1an1 ＋122＋??????1222＋ … ＋??????12n － 12＝ 1 ＋12????????1 －12n － 1 32. 返回 [析考情 把脈高考 ] 考點(diǎn)統(tǒng)計(jì) 等差、等比數(shù)列的判定與證明 3年 5考 數(shù)列求和問(wèn)題
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