【正文】 1 第四章 地球橢球數(shù)學(xué)投影的基本理論 2 地球橢球是選擇的旋轉(zhuǎn)橢球 ,旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小常用子午橢圓的五個(gè)基本幾何參數(shù) (或稱元素 ): ? 長半軸ａ ? 短半軸ｂ ? 橢圓的扁率 ? 橢圓的第一偏心率 ? 橢圓的第二偏心率 通常用 a , aba ???abae 22 ??abae 2239。 ??ee??3 ? 為簡化書寫 ， 還常引入以下符號(hào) 22 2 2, ta n , 39。 c o sac t B e Bb ?? ? ??????????BeVBeW2222c o s1s i n1????????????????????????????????? 221,39。1139。,39。139。1,39。11,39。12222222222eeVWeWVeeeeeeecaeaceabeba222 2 2 2 22 2 2 21 ( )1 39。 ( )1 si n ( 1 )1 ( 1 39。 )bW e V VaaV e W WbW e B e VV e W??? ? ? ? ????? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ?橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系 4 橢球面上常用坐標(biāo)系及其關(guān)系 各種坐標(biāo)系的建立 大地坐標(biāo)系 大地經(jīng)度 B 大地緯度 L 大地高 H 5 空間直角坐標(biāo)系 坐標(biāo)原點(diǎn) 位于總地球橢球 (或參考橢球 )質(zhì)心； Z軸 與地球平均自轉(zhuǎn)軸相重合，亦即指向某一時(shí)刻的平均北極點(diǎn)； X軸 指向平均自轉(zhuǎn)軸與平均格林尼治天文臺(tái)所決定的子午面與赤道面的交點(diǎn) G； Y軸 與此平面垂直，且指向東為正。 地心空間直角系與參心空間直角坐標(biāo)系之分。 常用坐標(biāo)系及其關(guān)關(guān)系 6 子午面直角坐標(biāo)系 設(shè) P點(diǎn)的大地經(jīng)度為 L， 在過 P點(diǎn)的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點(diǎn)，建立 x, y平面直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中， P點(diǎn)的位置用 L, x, y表示。 常用坐標(biāo)系及其關(guān)系 7 地心緯度坐標(biāo)系及歸化緯度坐標(biāo)系 設(shè)橢球面上 P點(diǎn)的大地經(jīng)度 L， 在此子午面上以橢圓中心 O為原點(diǎn)建立 地心緯度坐標(biāo)系 。 以橢球長半徑 a為半徑作輔助圓，延長Ｐ ２ Ｐ與輔助圓相交Ｐ １ 點(diǎn)，則 OP１ 與x軸夾角稱為 P點(diǎn)的 歸化緯度 u。 常用坐標(biāo)系及其關(guān)系 8 常用坐標(biāo)系及其關(guān)系 大地極坐標(biāo)系 M是橢球面上一點(diǎn)， MN是過 M的子午線， S為連接MP的大地線長， A為大地線在 M點(diǎn)的方位角。 以 M為極點(diǎn)； MN為極軸； P點(diǎn)極坐標(biāo)為（ S, A) 9 常用坐標(biāo)系及其關(guān)系 坐標(biāo)系之間的相互關(guān)系 ? 子午平面坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系 2222 1 ( 1 )xy ab??yxabdxdy ???222 22c ( 1 ) ( 2 )b x xtg B ea y y? ? ? ?Bexy tan)1( 2?? W BaBe Bax c oss i n1 c os 22 ???c t gBBdxdy ???? )90t a n( 010 常用坐標(biāo)系及其關(guān)系 令 : pn=N VBbBeWaBeBeay s i ns i n)1(s i n1s i n)1( 2222?????? c o sx N B?WaN?BeNy s i n)1( 2??BPQy s in?)1( 2eNPQ ?? 2NeQn ?WBaBeBax c oss i n1c os22 ???11 常用坐標(biāo)系及其關(guān)系 c os , si n , X x L Y x L Z y? ? ??空間直角坐標(biāo)同子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系 12 常用坐標(biāo)系及其關(guān)系 2c os c os c ossi n c os si n( 1 ) si nX x L N B LY x L N B LZ y N e B????????? ? ????????????????????????????BHeNLBHNLBHNZYXs i n])1([s i nc o s)(c o sc o s)(2?nH ???? 0???空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系 在橢球面上的點(diǎn)： 不在橢球面上的點(diǎn)： 13 常用坐標(biāo)系及其關(guān)系 ??????????????2222a r c c o sa r c s i na r c t a nYXXLYXYLXYL222 s i ntan YX BNeZB ???NB YXH ??? c os 222( 1 )s in zH N eB? ? ??由空間直角坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)大地坐標(biāo) 14 ? B、 u、 φ 之間的關(guān)系 ? B和 u之間的關(guān)系 2c os , si nsinc os , ( 1 ) si nx a u y b ua a b Bx B y e BW W V??? ? ? ?BW eu s i n1s i n2?? BWu c os1c os ?uVB s i ns i n ? uWB c o sc o s ?常用坐標(biāo)系及其關(guān)系 15 uexy t a n1 2??xy??ta n ue t a n1t a n 2???Be t a n)1(t a n 2??????????????39。)(39。)(39。)(m a xm a xm a x??BuuB??? uB常用坐標(biāo)系及其關(guān)系 ? U、 φ之間的關(guān)系 ? Ｂ、 φ之間的關(guān)系 ? 大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經(jīng)過計(jì)算，當(dāng) B=45176。 時(shí) 16 橢球面上的幾種曲率半徑 過橢球面上任意一點(diǎn)可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫作 法截面 ，法截面與橢球面的交線叫 法截線 。 ? 子午圈曲率半徑 dBdSM ?17 BdxdSs in??BdBdxMs i n1???WBax c o s??????????? ??? 2c oss i nWdBdWBBWadBdxWBBedBBeddBdW c oss i ns i n1 222 ????)1(s i n 23 eW BadBdx ???橢球面上幾種曲率半徑 18 23(1 )aeMW??3VcM ?橢球面上幾種曲率半徑 19 ? 卯酉圈曲率半徑 (N) 卯酉圈 :過橢球面上一點(diǎn)的法線，可作無限個(gè)法截面，其中一個(gè)與該點(diǎn)子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。 ? 麥尼爾定理 : 假設(shè)通過曲面上一點(diǎn)引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點(diǎn)上這兩條截弧具有公共切線，這時(shí)斜截弧在該點(diǎn)處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦 。 橢球面上幾種曲率半徑 20 BNr c o s?WBarx c o s??WaN ?VcN ?BrBPONPnc osc os39。 ???橢球面上幾種曲率半徑 21 ? 卯酉圈曲率半徑的特點(diǎn) : 卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸之間的長度 ， 亦即卯酉圈的曲率中心位在橢球的旋轉(zhuǎn)軸上 。 橢球面上幾種曲率半徑 22 ?主曲率半徑的計(jì)算 以上討論的子午圈曲率半徑 M及卯酉圈曲率半徑 N，是兩個(gè)互相垂直的法截弧的曲率半徑 ， 這在微分幾何中統(tǒng)稱為主曲率半徑 。 23222 )s i n1)(1( ???? BeeaM2122 )s i n1( ??? BeaNBmBmBmBmmM 886644220 s i ns i ns i ns i n ?????BnBnBnBnnN 886644220 s i ns i ns i ns i n ?????橢球面上幾種曲率半徑 23 6284262240222089674523)1(memmemmemmemeam??????????????????????????628426224022087654321nennennennenan橢球面上幾種曲率半徑 24 2322 )c os39。1( ???? BecM2122 )c o s39。1( ???? BecNBmBmBmBmmM 886644220 c o s39。c o s39。c o s39。c o s39。39。 ?????BnBnBnBnnN 886644220 c o s39。c o s39。c o s39。c o s39。39。 ?????橢球面上幾種曲率半徑 25 39。39。1011)39。(39。39。8939。39。39。6739。39。39。4539。39。39。2339。)1(/39。821062842622402220memmemmemmemmemeacm???????????????????????????????????????????39。39。109)39。(39。39。8739。39。39。6539。39。39。4339。39。39。2139。1/39。821062842622402220nennennennennenea26 ? 任意法截弧的曲率半徑 NAMAR A22 s i nc os1??AMANMNRA 22 s i nc os ??21 ???? VMNABeNANRA 2222 c osc os39。1c os1 ???? ?)c o sc o s1( 4422 ????? AANR A ??橢球面上幾種曲率半徑 27 ? 任意法截弧的曲率半徑的變化規(guī)律 : Ｒ Ａ 不僅與點(diǎn)的緯度 B有關(guān)，而且還與過該點(diǎn)的法截弧的方位角 A有關(guān)。 當(dāng)Ａ＝０176。時(shí)，變?yōu)橛?jì)算子午圈曲率半徑的，即Ｒ ０ ＝Ｍ； 當(dāng)Ｒ Ａ ＝ 90176。時(shí)，為卯酉圈曲率半徑，即Ｒ ９０ ＝Ｎ。主曲率半徑 M及 N分別是Ｒ Ａ 的極小值和極大值 。 當(dāng) A由 0176。 → 90176。時(shí)，Ｒ Ａ 之值由Ｍ → Ｎ，當(dāng) A由 90176。 → 180176。時(shí)，Ｒ Ａ 值由 N→ Ｍ，可見Ｒ Ａ 值的變化是以 90176。為周期且與子午圈和卯酉圈對(duì)稱的。 橢球面上幾種曲率半徑 28 ? 平均曲率半徑 橢球面上任意一點(diǎn)的平均曲率半徑 R 等于該點(diǎn)子午圈曲率半徑 M和卯酉圈曲率半徑 N MNR ?2222 1 eWaVNVcWbR ?????橢球面上幾種曲率半徑 29 ? M， N， R的關(guān)系 MRN ?? cMRN ??? 909090橢球面上幾種曲率半徑 30 ? 對(duì)于克拉索夫斯基橢球 橢球面上幾種曲率半徑 31 橢球面上的弧長計(jì)算 ? 子午線弧長計(jì)算公式 M d Bdx ??? B M d BX 0BmBmBmBmmM 886644220 s i ns i ns i ns