[工學(xué)]理論力學(xué)2—平面匯交力系與平面力偶系(已修改)
2025-01-15 23:33 本頁面
【正文】 第 二 章 匯交力系與平面力偶系 一、 平面匯交力系合成與平衡的幾何法 1. 平面匯交力系合成的幾何法 （力的多邊形法則） F3 F2 F1 F4 A F1 F2 F3 F4 FR a b c d e a b c d e F1 F2 F4 F3 FR 各分力矢與合力矢構(gòu)成的多邊形稱為 力的多邊形。 用力多邊形求合力的作圖規(guī)則稱為 力的多邊形法則。 力多邊形中表示合力矢量的邊稱為力多邊形的 封閉邊。 注意： 運用力多邊形求合力時，可以 任意變換 各分力矢量的次序， 得到不同形狀的力多邊形，但求得的 合力 FR 不變 。 1. 平面匯交力系合成的幾何法 （力多邊形法則） 結(jié)論： 平面匯交力系可簡化為一合力 ， 其合力的大小與方向等于各分力的矢量和 (幾何和 )，合力的作用線通過匯交點 。 用矢量式表示為： R 1 2 n? ? ? ? ? ? ? ? ?F F F F F如果一力與某一力系等效 ， 則此力稱為該力系的 合力 。 在 平衡 的情形下 ， 力多邊形中最后一力的終點與第一力的起點 重合 ， 此時的力多邊形稱為 封閉的力多邊形 。 于是 ， 平面匯交力系平衡的必要與充分條件是： 該力系的力的多邊形 自行封閉 ， 這是 平衡的幾何條件 。 0i??F2. 平面匯交力系平衡的 幾何 條件 平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零 。 用矢量式表示為： F5 F2 F1 F3 F4 B C D E A F5 F2 F1 F3 F4 B C D E A 比較下面兩力多邊形，看看那個是平衡力系？哪個有合力？哪個力是合力？ 反之，當(dāng)投影 Fx， Fy 已知時，則可求出力 F 的大小和方向： 22 yx FFF ??FFFF yx ?? ?? c o s , c o s結(jié)論：力在某軸上的投影，等于力的模乘以力與該軸正向間夾角的余弦。 O x y Fx b180。 a180。 Fy F B A ? ? a b 二、平面匯交力系合成與平衡的解析法 1. 力在 直角坐標(biāo)軸 上的投影 (有正、負(fù)之分 ) 注意： 力的投影和力的分力是兩個不同的概念， 前者是 代數(shù)量，后者是矢量 ；投影無作用點，而分力必須作用 在原力的作用點。只有當(dāng)一個力沿一對 直角坐標(biāo)軸 分解 時，所得到的兩個分力才分別等于該力在相應(yīng)坐標(biāo)軸上 投影的絕對值。 ?xF??co sF??yF ?co sFy x B Fy Fx ? ? F O Fx Fy A A F2 F1 （ a） F3 F1 F2 FR F3 x A B C D （ b） 合力在某一軸上的投影，等于它的各分力在同一軸上的投影的代數(shù)和。 證明： 以三個力組成的匯交力系為例。設(shè)有三個匯交力 F1， F2， F3，如圖（ a） 。 二、平面匯交力系合成與平衡的解析法 2. 合力投影定理 合力 F 在 x 軸上投影為： FRx= ad 由數(shù)學(xué)關(guān)系知 ： ad = ab + bc + (dc) FRx= F1x+ F2x+ F3x F Rx= F1x+ F2x+ ? + Fnx =? Fx F1 F2 FR F3 x A B C D （ b） F1x= ab , 推廣到任意多個力 F1， F2， ? ， Fn組成的平面匯交力系，可得 a b c d 各力在 x 軸上投影為： F2x= bc , F3x= dc 二、平面匯交力系合成與平衡的解析法 FRy= F1y+ F2y+ ? + Fny =? Fy 同 理： ?????? ynyyyyR FFFFF ?21合力的大?。? ? ? ? ? 222 ?? ???? yx2yRxRR FFFFF合力 F的方向： 根據(jù)合力投影定理，得： 二、平面匯交力系合成與平衡的解析法 ???? ??XYxRyRFFFF11 t a nt a n?平面匯交力系的平衡方程： 3. 平面匯交力系平衡的 解析 條件 力系中所有各力在任意兩個直角坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。（充要條件） ? ? 0xF? ? 0yF二、平面匯交力系合成與平衡的解析法 ? ? ? ? 022 ??? ?? yxR FFF解析法求解平面匯交力系平衡問題的一般步驟 : 1. 選分離體，畫受力圖。分離體選取應(yīng)最好含題設(shè)的已知條件 。 2. 在力系平面內(nèi)選坐標(biāo)系。 3. 將各力向二坐標(biāo)軸投影，并應(yīng)用平衡方程 ∑ Fx=0， ∑ Fy=0 求解。 二、平面匯交力系合成與平衡的解析法 A B 30186。 a a C [例 1] 水平梁 AB中點 C作用著力 F， 其大小等于 20 kN， 方向與梁的軸線成 60186。角 ， 支承情況如圖所示 ， 試求固定鉸鏈支座 A和活動鉸鏈支座 B的約束力 ， 梁的自重不計 。 A B 30186。 a a C （ 1） 取梁 AB作為研究對象。 RA=Fcos 30?= kN RB=Fsin 30?=10 kN （ 2） 畫出受力圖。 （ 3） 應(yīng)用平衡條件畫出 F， RA 和 RB的閉合力三角形 。 解： 30186。 60186。 60186。 30186。 （ 4） 解得： 0??X0??Y045c o sc o s
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