【正文】 2022年 1月 4日 中國礦業(yè)大學(xué) xxx 廣義坐標(biāo)有限元法的一般格式 常見的單元類型： 選擇單元位移函數(shù)的一般原則 （ 1）位移模式中的待定系數(shù)（廣義坐標(biāo)）個數(shù)，應(yīng)與單元的結(jié)點位移數(shù)相等； yxu 321 ??? ???yxv 654 ??? ???（ ） （ 2）位移模式中，常數(shù)項與一次項必須完備； （ 3）多項式選取由低次到高次，且盡可能選取完全的多項式，以提高單元的精度；如： 26524321 yxyxyxu ?????? ??????21211210987 yxyxyxv ?????? ??????1yx 22 yxyx3223 yxyyxx432234 yxyyxyxx??? 一次 二次 三次 四次 0 次 Pascal 三角形 （ 4） 當(dāng)由于項數(shù)限制，不能選取取完全多項式時，應(yīng)考慮多項式應(yīng)具有對稱性，如： 4節(jié)點 矩形單元 xyyxu 4321 ???? ????xyyxv 8765 ???? ???? 廣義坐標(biāo)有限單元的一般格式 （ 1） 以廣義坐標(biāo) ? 為待定參數(shù)，給出單元內(nèi)位移分布 u ； βΦu ?（ ） 對于二維問題： ,???????vuu ? ??? ? 2 1 ??β?????????00Φ對于 3結(jié)點三角形單元： 3節(jié)點 三角形單元 1 2 3 yxu321 ??? ???yxv 654 ??? ???? ??? 62 1 ??? ?β ? ?yx1??? 2． 用 單元結(jié)點位移 ea~表示 廣義坐標(biāo) ? 慣用的單元結(jié)點位移排列是 ? ? T2211 ?vuvu?ea為便于求解廣義坐標(biāo)，可采用另一表示方法，如 ? ? T2121~ ?? vvuu?ea（ 2． 3． 1）式中代入單元結(jié)點坐標(biāo)得到 )(~ A βa e ?二維問題 ???????AAA~00~用（ 2． 3． 2）式解出 )(~1 eaA??? 3． 以單元結(jié)點位移 ae 表示單元位移函數(shù) u，得到單元插值函數(shù)矩陣 N將 （ 2． 3． 3） 式代入 （ 2． 3． l） 式 ( 2 .3 . 4 )~~~Φ 1 ee aNaAu ?? ?二維問題 ???????*N*NN00~? ??211~ NN?? ?AΦN *將結(jié)點位移 改為一般排列順序 ae ，則有 ( 2 . 3 . 5 )eNau ?? ??321 NNNN ?? 4． 以單元結(jié)點位移 ae 表示單元應(yīng)變和應(yīng)力應(yīng)變： )6( 2 . 3 .),( eaBLuε yx??LNB ?應(yīng)力：由彈性變形產(chǎn)生的應(yīng)力 eD B aD εσ ??當(dāng)有初應(yīng)力和初應(yīng)變時，應(yīng)力的一般式是 ? ? )(0000 σD εD B aσεεDσ e ?????? 5． 用 最小位能原理 建立離散體系的結(jié)點平衡方程 ? 系統(tǒng)總位能 的離散形式 ? ? )(? ?? ? ????e Se Vp eedSdVU????將（ 2． 3． 5）～（ 2． 3． 7）式代入上式并將單元結(jié)點位移 ae用結(jié)構(gòu)結(jié)點位移 a表示， ?即 ae=Ga，（ 2． 3． 8）式即為 )(21)~21(TTTTTTTTPaKaadSTNdVfNdVBdVD εBGadVDBBGaeeeeeV SV0eV0VTp???????? ??? ????? 總位能的變分 0?? p?得到有限元求解方程 )(PKa ?其中 )(??eGGK eT k)(T??eVdVDBBk e?式（ 2． 3． 12）是單元剛度矩陣的普遍公式 ?（ 2． 3． 9）式中的是作用在連續(xù)體邊界上的力，包括作用在有關(guān)單元邊界上的分布力和作用在結(jié)點上的集中力兩部分。 ?為了方便起見可以將這兩部分外載分開，將 T作為分布面力，結(jié)點集中力用 F表示，則載荷列陣 P可以寫作 ? ? )(εσT FeSefFεσSfPPPPPGPPPPPP0000???????????eee( 2. 4),0Tε0TσTTdVdVdSdVeeeeVeVeSV?????????D εBPσBPTNPfNP00eSef??PF 結(jié)點集中力列陣 ?（ 2． 3． 14）式是計算單元等效結(jié)點載荷列陣的普遍公式。 ? 6． 引入強制邊界條件 ? 7． 解方程得到結(jié)點位移 ? 8． 進(jìn)行需要的輔助計算 ? 如利用 （ 2． 3． 6） 、 （ 2． 3． 7） 式計算單元應(yīng)變和應(yīng)力 ， 也可按需要計算其他項目 。 ? 由上面過程可以看到： ? 1～ 3是假定位移模式 、 求解廣義坐標(biāo) ， 最后得到單元插值函數(shù) 。 這三步是 廣義坐標(biāo)有限元的特征 。 ? 4～ 5是利用變分原理 建立有限元格式的一般方法 。 這里用的是最小位能原理 ， 建立以位移為基本場變量的有限元求解方程 ， 求解平衡問題 。 ? 6～ 8是建立有限元方程后的一般解法和計算步驟 。 ? 廣義坐標(biāo)有限元可能產(chǎn)生的困難是： ? 當(dāng)位移函數(shù)選擇不恰當(dāng)時 ， 可能不存在 A1而使求解廣義坐標(biāo) ?成為不可能 。 ? 同時 ， 當(dāng)單元結(jié)點較多時 ， 解廣義坐標(biāo)的過程顯得繁瑣 ， 因此也可以利用自然坐標(biāo)直接構(gòu)造單元的插值函數(shù) ， 這樣就可以避免求解廣義坐標(biāo)的過程 ， 建立有限元的方程和求解只需從第 4步開始 。 ? 本章第 5節(jié)將結(jié)合矩形單元和高精度三角形單元討論直接建立單元插值函數(shù)的方法 ，關(guān)于建立單元插值函數(shù)更系統(tǒng)方法將在下一章中給出 。 有限單元解的性質(zhì)與收斂性 一 . Ritz法的收斂準(zhǔn)則 對連續(xù)介質(zhì)問題，有泛函： 其中 : 要求試函數(shù)必須滿足： 完備的函數(shù)系列（完備性） 應(yīng)滿足連續(xù)性要求（協(xié)調(diào)性） 1） 2） Ritz 法的收斂條件： （ 1）近似函數(shù) u 具有 完備性 （ 2）試探函數(shù) u 具有 連續(xù)性 （取完全多項式） （ C0 類連續(xù)） FEM 法與 Ritz 法的區(qū)別： Ritz 法在 全域 上假設(shè)近似函數(shù) u， FEM 法在 單元 上假設(shè)近似函數(shù) u， 近似函數(shù) u可以有多種類型。 近似函數(shù) u一般都為 簡單多項式 。 問題： 在什么條件下，當(dāng)單元尺寸趨于零時，F(xiàn)EM 法的解趨于精確解？ 引例： 設(shè)一標(biāo)量場： 0)()( ??? bLA ??存在標(biāo)量泛函： )()(21 ??????? ?? ? d ΩbCCΠΩ???假設(shè)泛函 ? 中含有： mmdxddxddxd ???? ,22?mmdxd ?且 為非零的， 則近似函數(shù) ? 至少為 m 次多項式，即 ~ pp xxxx ?????? ????? ?332210~ ? ?mp ?12321 32~????? pp xpxxdxd ????? ?23222)1(62~?????? pp xppxdxd ???? ??? mppmmmmxmppxmmdxd ?? ?????? ????)!(!)!1(!~1 ?（ ） 顯然，僅當(dāng) pm 時， mmdxddxddxd ???? ,22?各項都包含常數(shù)項， 意味著，當(dāng)單元尺寸趨 mmdxddxddxd ???? ,22? 各項趨于常數(shù)，即， 有限元法的近似解 收斂于 精確解。 于零時， 收斂條件 1： ?~—— 必須是 m次以上的完備多項式； 收斂條件 2： ?~—— 僅可能在相鄰單元邊界上連續(xù)。 彈性力學(xué)問題中，有限元法的收斂準(zhǔn)則： 準(zhǔn)則 1： 完備性要求 若泛函 ?p中含有未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)為 m 階，則未知函數(shù)至少是 m 次 完全多項式。 dSTudVfudVDS iiV iikli j k lijVP ?????????21Π?p中含： ),(,zuyuxuu iiiiji ???????要求： 為 x、 y、 z 一次完全多項式 Nau ?對于平面問題： yxu 321 ??? ???yxv 654 ??? ???對于空間問題： zyxu 4321 ???? ????zyxv 8765 ???? ????zyxw 1211109 ???? ????對于梁的彎曲問題？ —— 最高階導(dǎo)數(shù)次數(shù) m=1 彈性力學(xué)問題： 準(zhǔn)則 2： 協(xié)調(diào)性要求 若泛函 ?p中含有未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)為 m 階，則要求未知函數(shù)在相鄰單元交界面上須滿足 Cm1 類連續(xù)性 ， 即保證交界面上未知函數(shù) m－ 1 階的連續(xù)可導(dǎo)。 當(dāng)單元的插值函數(shù)滿足上述要求時，稱這種 單元是協(xié)調(diào)的 。 對 彈性力學(xué)問題 ，