【正文】 第五章 虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計(jì)算 ? 167。 1 應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移 ? 167。 2 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式 ? 167。 3 荷載作用下的位移計(jì)算 ? 167。 4 荷載作用下的位移計(jì)算舉例 ? 167。 5 圖乘法 ? 167。 6 溫度作用時(shí)的位移計(jì)算 ? 167。 7 互等定理 167。 1 應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移 ? ? 虛力原理 ? ?位移 的概念：結(jié)構(gòu)在 荷載、溫度變化和材料膨脹、支座沉降和制造誤差 等各種因素作用下發(fā)生變形，因而結(jié)構(gòu)上個(gè)點(diǎn)的位置會(huì)有變動(dòng)。這種位置的變動(dòng)稱為位移。 ?結(jié)構(gòu)的位移通常有兩種：截面的移動(dòng) 線位移 ；截面的轉(zhuǎn)動(dòng) 角位移 。 線位移，角位移，相對(duì)線位移、角位移等統(tǒng)稱 廣義位移 線位移 角位移 DC ?? ?相對(duì)線位移 C D D?C?? FP ?相對(duì)角位移 ?? ?A A?A?P Ax?Ay??鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定 : 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的目的 ： (1) 剛度要求 在工程上，吊車梁允許的撓度 1/600 跨度； 橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁 最大撓度 1/700 和 1/900跨度 高層建筑的最大位移 1/1000 高度。最大層間位移 1/800 層高。 (2) 超靜定、動(dòng)力和穩(wěn)定計(jì)算 (3）施工要求 為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析（如第 6章力法等）打好基礎(chǔ)（利用位移條件建立補(bǔ)充方程）。 虛力原理 虛功原理 的關(guān)鍵是位移與力系是獨(dú)立無(wú)關(guān)的。因此，可以把位移看成是虛設(shè)的，也可以把力系看成是虛設(shè)的，本部分正是把力系看作是虛設(shè)的，求剛體體系的位移。 步驟： 單位荷載 ，利用 平衡條件 求支反力。 虛力原理 列出虛力方程進(jìn)行求解，由于是在所求位移處設(shè)置單位荷載，因此，這種解法又稱 單位荷載法 。 a b A B C 1c???P=1 A B C a b 1R已知 1c求 ?虛功方程 設(shè)虛力狀態(tài) abR0bPaR11 ??????0cR1 11 ?????1cab??小結(jié)： （ 1）形式是虛功方程，實(shí)質(zhì)是 幾何方程 ； （ 2）在擬求位移方向虛設(shè)一單位力，利用平衡條件求出與已知位移相 應(yīng)的支座反力。 構(gòu)造一個(gè)平衡力系 ； （ 3）特點(diǎn)是用靜力平衡條件解決幾何問(wèn)題。 單位荷載其虛功正好等于擬求位移。 單位位移法 的虛功方程 平衡方程 單位荷載法 的虛功方程 幾何方程 第一種本書稱為 “虛位移原理” ，而將第二種應(yīng)用稱為 “虛力原理” 。更確切的說(shuō)法為， 兩種應(yīng)用的依據(jù)是上述兩原理的必要性命題 。上述兩原理都是充分、必要性命題。 虛位移原理 :一個(gè)力系平衡的充分必要條件是 :對(duì) 任意協(xié)調(diào)位移 ,虛功方程成立 . 虛力原理 :一個(gè)位移是協(xié)調(diào)的充分必要條件是 :對(duì) 任意平衡力系 ,虛功方程成立”。 （ 1） C點(diǎn)的豎向位移 c?（ 2）桿 CD的轉(zhuǎn)角 ?l 3l23lA B C D A B C D 1 31 43A B C D 1 l21l2l23已知位移 Ac求 : c??Ac? ? 11 1 03cAc?? ? ? ?Ac c31??? ? 02112 ???? Acl?Acl21?? 所得正號(hào)表明位移方向與假設(shè)的單位力方向一致。 求解步驟 （ 1）沿所求位移方向加單位力，求出虛反力； （ 3）解方程得 kk cR ?????定出方向。 （ 2）建立虛功方程 01 ??????kk cR167。 2 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式 ? ? ? ? ? ?dB A a am?a aB A ?dm?1 a aA B ? Mii? aM ??? ?s in1虛功方程： 01 ????? ?dMm?? dMm ??B A ii? B A Q??dQ?1 ? A Q?sin1 ??Q01 ????? ?d?? d ?? 1. 例 懸臂梁在截面 B處由于某種原因產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)角 d?，試求 A點(diǎn)在 i－ i方向的位移 。 m? 例 懸臂梁在截面 B處由于某種原因產(chǎn)生相對(duì)剪位移 d?， 試求 A點(diǎn)在 i－ i方向的位移 。 Q? 例 懸臂梁在截面 B處由于某種原因產(chǎn)生軸向位移 d? 試求 A點(diǎn)在ｉ － ｉ 方向的位移 。 N?B A B A ii? N?N?B A ? 1 N N由平衡條件： ?c o s1 ??N虛功方程： 01 ????? ?dNN?? dNN ?? 當(dāng)截面 B同時(shí)產(chǎn)生三種相對(duì)位移時(shí)，在 i－ i方向所產(chǎn)生的位移 ?，即是三者的疊加，有： ??????? dNdQdMNQM ???????d由剛體虛功原理來(lái)推導(dǎo)－ 局部到整體 。 基本思路： ds ?d?d?dR ii? ?dds ?d ds ?d?dR ??ds R1?? ???（ 1）三種變形： 在剛性桿中，取微段 ds設(shè)為變形體，分析局部變形所引起的位移。 dsRdsd ??? ??dsd ?? ?? dsd ?? ???ds ?d?d?dR ii? ?dds ?d ds ?d?dR ??ds ? 1 Q,N,M（ 2）微段兩端相對(duì)位移： 續(xù)基本思路：設(shè) ,0ds ? 微段的變形以截面 B左右兩端的相對(duì)位移的形式出現(xiàn)， 即剛體位移 ，于是可以利用剛體虛功原理求位移。 （ 3）應(yīng)用剛體虛功原理求位移 d?－ 即前例的結(jié)論。 ??????? dQdNdMd QNM ??????或 ds)QNM(d????? ??? ii? ?ds)QNM(d ????? ???根據(jù)疊加原理，一根桿件各個(gè)微段變形引起的位移總和： ()d M N Q d s? ? ?? ? ? ? ? ???如果結(jié)構(gòu)由多個(gè)桿件組成，則整個(gè)結(jié)構(gòu)變形引起某點(diǎn)的位移為： ds)QNM( ????? ???? ?若結(jié)構(gòu)的支座還有位移，則總的位移為： kk cRds)QNM( ?????? ? ?????這里的積分號(hào)表示沿桿件長(zhǎng)度積分，總和號(hào)表示對(duì)結(jié)構(gòu)中各桿求和。其中最后一項(xiàng)表示給定支座位移 Ck的影響。 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式還可用變形體的虛功原理導(dǎo)出： 外虛功＝內(nèi)虛功 ， kk cRds)QNM( ?????? ? ?????適用范圍與特點(diǎn)： 2） 形式上是虛功方程，實(shí)質(zhì)是幾何方程。 關(guān)于公式普遍性的討論： （ 1）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。 （ 2）變形原因：荷載與非荷載。 （ 3）結(jié)構(gòu)類型：各種桿件結(jié)構(gòu)。 （ 4）材料種類：各種變形固體材料。 1） 適于小變形，可用疊加原理。 位移計(jì)算公式也是變形體虛功原理的一種表達(dá)式。 kk cRds)QNM( ?????? ? ?????1c2c1t2tK K?? 1 1R2Rds ?d ds ?d???dds ds Mds Nds Q外虛功： kke cR1W ????? ?內(nèi)虛功： ? ?? ???? dsQNMW i ????變形體虛功原理：各微段內(nèi)力在應(yīng)變上所作的內(nèi)虛功總和 Wi ， 等于荷載在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虛功總和 We 。 即： ? ??? ??????? dsQNMcR kk ????1 : 1c2c1t2tK K?? 1 1R2R實(shí)際變形狀態(tài) 虛力狀態(tài) kk cRds)QNM( ?????? ? ?????(1) 建立虛力狀態(tài)：在待求位移方向上加單位荷載； (2) 求虛力狀態(tài)的單位荷載作用下，根據(jù)平衡條件，求出所有 的內(nèi)力及反力 (3) 用位移公式計(jì)算所求位移，注意正負(fù)號(hào)問(wèn)題。力與變形方向一致時(shí)乘積取正，否則為負(fù)。計(jì)算出的位移結(jié)果為正值時(shí)，則表明所求位移與單位荷載方向一致，負(fù)值時(shí)則表明實(shí)際位移與單位荷載方向相反。 本章所討論的位移可以引申為 廣義位移 ：它既可以是某點(diǎn)沿某一方向的 線位移 或某一截面的 角位移 ，也可以是某兩個(gè)截面的相對(duì)位移等。為了能夠應(yīng)用位移計(jì)算的一般公式，虛設(shè)單位荷載必須與所求位移產(chǎn)生虛功，因此，虛設(shè)單位荷載應(yīng)與廣義位移相一致。如 P162表 51廣義位移和廣義單位荷載示例 所示。 作功的兩方面因素：力、位移。與力相應(yīng)的因子，稱為 廣義力 F； 與位移相應(yīng)的因子，稱為 廣義位移 Δ。 廣義力與廣義位移的 共軛關(guān)系 是：它們的乘積是虛功。即： W=FΔ 1） 廣義力是單個(gè)力 P，則廣義位移是該力的作用點(diǎn)的全位移在 力的方向上的分量。 P Δ m β 2） 廣義力是一個(gè)力偶，則廣義位移是它所作用的截面的轉(zhuǎn)角 β。 3） 若廣義力是等值、反向的一對(duì)力 P P P t t A B ΔB ΔA W=