【正文】 線性代數(shù) 第四章 第四章 線性方程組與向量組的線性相關(guān)性 ? 本章教學(xué)內(nèi)容 ?167。 1 消元法與線性方程組的相容性 ?167。 2 向量組的線性相關(guān)性 ?167。 3 向量組的秩 矩陣的行秩與列秩 ?167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 167。 1 消元法與線性方程組的相容性 ? 本節(jié)教學(xué)內(nèi)容 ? ?2. Cramer(克萊姆 )法則 ? 167。 1 消元法與線性方程組的相容性 ? ?n元線性方程組 的 一般形式 為 ?記： 稱 A為 系數(shù)矩陣 ， x為 未知列 ， b為 常數(shù)列 ， 則線性方程組可寫成 矩陣形式 Ax=b ???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa????????22112222212111212111),2,1。,2,1( , , njmixba jiij ?? ??為未知量為常數(shù)其中,)( nmijaA ?? ,), ( T21 nxxxx ?? ,), ( T21 mbbbb ??167。 1 消元法與線性方程組的相容性 ?設(shè) n元線性方程組 Ax=b， 若 A按列分塊為 A=(?1, ?2, … ,?n)，則方程組可寫成 向量形式 ?1x1+?2x2+ … +?n xn =b ?若 b=0, 即 Ax=0 稱為 齊次 線性方程組 ?若 b≠0, 即 Ax=b 稱為 非齊次 線性方程組 ?若 n維列向量 ?=(?1, ?2,… ,?n)T滿足 A?=b，則 稱 x1=?1, x2=?2,… , xn=?n是 Ax=b的 一個(gè)解 ， 并稱 ?是 Ax=b的 一個(gè)解向量 ，或說 x=?是 Ax=b的 解 。 167。 1 消元法與線性方程組的相容性 ?設(shè) n元線性方程組 Ax=b， 稱 Ax=0 為 與它對(duì)應(yīng) 的齊 次線性方程組， ?若 n維列向量 ? (≠0)滿足 A?=0，則稱 x= ?是 齊次線 性方程組 Ax=0的 一個(gè) 非零 解 ， ?顯然 x=0是 Ax=0的一個(gè)解， 稱它為 Ax=0的 零解 ， 或 當(dāng)然解 ，或 平凡解 。 ?若 線性方程組 Ax=b有解，則稱它 是 相容的 ， 否則 稱它 是 不相容的 。 ?性質(zhì) 齊次線性方程組是相容的。 167。 1 消元法與線性方程組的相容性 ?2. Cramer法則 ?設(shè) n個(gè)方程的 n元線性方程組 Ax=b， 若 ?A?≠0，則 線性方程組 Ax=b有惟一解 其中 Dj是以 b代替 A的第 j列所得到的 n階行列式。 ., 2211 ADxADxADx nn ??? ?,)( nnijaA ??其中 ,), ( T21 nxxxx ?? ,), ( T21 nbbbb ??167。 1 消元法與線性方程組的相容性 ?證 Ax=b， ????nkkkjj bAAx11 bAAbAx *1 1 ??? ??????????????????????????????nnnnnnnbbbAAAAAAAAAA ???????21212221212111 1nnnnnjnnjjjjjjaaaabaabaabaaaaD2111122121111112111 ????????????????其中),2,1( njAD j ???167。 1 消元法與線性方程組的相容性 ?例 解線性方程組 ?解 ????????????????1 222642 321321321xxxxxxxxx,08112264211???????A ,81112622121 ???????D,81122242212 ?????D ,01122642113 ??????D.0,1,1 321 ?????? xxx167。 1 消元法與線性方程組的相容性 ?Cramer法則對(duì)于線性方程組的求解有重要的理 論意義。但是，它只能求解方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè) 數(shù)相同、且其系數(shù)行列式的值不為零的線性方程 組，隨著未知量個(gè)數(shù)的增加，計(jì)算變得十分困難 . 下面，我們來討論一般的線性方程組的解法。 167。 1 消元法與線性方程組的相容性 ? ?定義 若線性方程組 A1x=b1的解都是 線性方 程組 A2x=b2的解；反之， 線性方程組 A2x=b2的解 都是 線性方程組 A1x=b1的解，則稱 線性方程組 A1x=b1與 線性方程組 A2x=b2同解 。 ?在中學(xué)，我們已經(jīng)知道 (1)方程兩邊同乘一個(gè)非零常數(shù)，方程的解不變； (2)方程兩邊同乘一個(gè)常數(shù) ,然后加到另一個(gè)方程 上，方程組的解也不變 (即 加減消元法 )。 因此，就有 167。 1 消元法與線性方程組的相容性 ?定理 1? 若 (A1, b1)經(jīng)初等行變換化為 (A2, b2)， 則線性方程組 A1x=b1與 線性方程組 A2x=b2同解 。 ?事實(shí)上 ，倍法變換相當(dāng)于第 i個(gè)方程兩邊同乘一 非零常數(shù)；消法變換相當(dāng)于加減消元法；換法變 換相當(dāng)于交換兩個(gè)方程的次序，故 線性方程組的 解不變。 ?定義 (A, b)稱線性方程組 Ax=b的增廣矩陣。 167。 1 消元法與線性方程組的相容性 ?用消元法解線性方程組的 思想方法 是： 解線性方程組 Ax=b (1)用初等 行 變換將增廣矩陣 (A, b)化為 最簡行階梯 形 矩陣 (C, d)； (2)解方程組 Cx=d，其解即是 方程組 Ax=b的解 . 167。 1 消元法與線性方程組的相容性 ?例 用消元法解線性方程組 ?解 ????????????????1 222642 321321321xxxxxxxxx????????????????111222642111),( bA?????????????????? ?? ????313044402111312322rrrr????????????????? ????313011102111)41 (2r?????????????? ?? ???02001110100132123rrrr167。 1 消元法與線性方程組的相容性 于是方程組的解為 ????????????020011101001??????????????010011101001 213r???????????????010010101001 23 rr????????.x,x,x011321R(A)=R(A,b)=3 (未知量個(gè)數(shù) ) 方程組有惟一解。 167。 1 消元法與線性方程組的相容性 ?例 1 ?用消元法解線性方程組 ?解 ?????????????????72 2834 31 32 432143214321xxxxxxxxxxxx????????????????721128341311321),( bA???????????????????505505055011321 312123rrrr????????????????505501011011321 512r????????????????000001011031101 321252 rrrr167。 1 消元法與線性方程組的相容性 ?原方程組可化為 ????????1 3 32431xxxxx),( , 212413 為任意常數(shù)令 kk kxkx ????????????????24131221113kxkxkxkkx得方程組的解此稱方程組的 一般解 (或 通解 ) R(A)=R(A,b)=24 (未知量個(gè)數(shù) ) 方程組有無窮多組解 , 自由未知量個(gè)數(shù) =42=2. x3與 x4可任意取值， 稱為 自由未知量 ????????????????000001011031101 321252 rrrr167。 1 消元法與線性方程組的相容性 ?例 2?用消元法解線性方程組 ?解 ?????????????????72 2834 31 32 432143214321xxxxxxxxxxxx????????????????721128341311321),( bA???????????????????505505055011321 312123rrrr????????????????505501011011321 512r????????????????000001011031101 321252 rrrr8 8 6 6 1 ????????????????000001011031101 321252 rrrr167。 1 消元法與線性方程組的相容性 ?原方程組可化為 所以方程組無解 . 1 ???????????10 1