【正文】 2022/1/4 1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 陳星光 13776633053 南京大學(xué)工程管理學(xué)院 課程安排 ? 單周，周一， 12節(jié)， ? 雙 周，周一，周五， 12節(jié) ? 內(nèi)容：教材 1~9章（視時間調(diào)整） ? 成績： ? 平時 20+期中考試 30+期末考試 50 ? 作業(yè)：基本上每次課后 23題 2022/1/4 2 2022/1/4 3 第一章 概率論的基本概念 1. 確定性現(xiàn)象和不確定性現(xiàn)象。 3. 隨機(jī)現(xiàn)象 : 在一定條件下可能發(fā)生這種結(jié)果也可能發(fā)生那種結(jié)果的，因而無法事先斷言出現(xiàn)哪種結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。 4. 隨機(jī)現(xiàn)象具有統(tǒng)計規(guī)律性。 2. 統(tǒng)計規(guī)律性 ： 在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性。 實(shí)驗(yàn)和試驗(yàn) ? 實(shí)驗(yàn)是對抽象的知識理論所做的現(xiàn)實(shí)操作，用來證明它正確或者推導(dǎo)出新的結(jié)論。它是相對于知識理論的實(shí)際操作。 ? 試驗(yàn)是對事物或社會對象的一種檢測性的操作，用來檢測那里正常操作或臨界操作的運(yùn)行過程、運(yùn)行狀況等，它是就事論事的。 ? 試驗(yàn)都是實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)比試驗(yàn)的范圍寬廣。工廠的產(chǎn)品可以抽樣檢測，是試驗(yàn)。試驗(yàn)的結(jié)果可能是破壞性的，因此不能試驗(yàn)所有的產(chǎn)品。社會計劃的試點(diǎn)也是試驗(yàn)。試驗(yàn)中，試驗(yàn)對象是明確的，試驗(yàn)?zāi)康氖菣z查它能不能正常運(yùn)行、正常運(yùn)行的條件和該條件允許的范圍。 2022/1/4 4 2022/1/4 5 167。 1 隨機(jī)試驗(yàn) E1：拋一枚硬幣，觀察正面 H、反面 T出現(xiàn)的情況。 E2：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面 H、反面 T出現(xiàn)的 情況。 E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。 E4：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。 E5：記錄某城市 120急救電話臺一晝夜接到的呼喚次數(shù)。 E6：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命。 E7：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。 2022/1/4 6 (1) 可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行 。 隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn) (2) 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個 ,且能事先 明確所有可能的結(jié)果 。 (3) 一次試驗(yàn)只出現(xiàn)一個結(jié)果，且試驗(yàn)前不能 確定哪個結(jié)果會出現(xiàn)。 2022/1/4 7 隨機(jī)試驗(yàn)中，每一個可能結(jié)果稱為該試驗(yàn)的一個樣本點(diǎn)（或基本事件） .全體樣本點(diǎn)組成的集合稱為該試驗(yàn)的樣本空間，記為 S。 樣本空間 E1：拋一枚硬幣，觀察正面 H、反面 T出現(xiàn)的情況。 S1={H,T} 2022/1/4 8 E5：記錄某城市 120急救電話臺一晝夜接到的呼喚次數(shù)。 S5={0,1,2, ?} E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。 S3={0, 1， 2, 3} E2：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面 H、反面 T出現(xiàn)的情況。 S2={HHH, HHT， HTH, THH, HTT,THT,TTH,TTT } E4：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。 S4={1, 2， 3, 4， 5， 6} 2022/1/4 9 E6:在一批燈泡中任取一只 , 測試它的壽命 . S6={t| t≥0} :樣本點(diǎn)為有限多個或可列多個 。例E1,E2等。 :樣本點(diǎn)在區(qū)間或區(qū)域內(nèi)取值 .例燈泡的壽命 {t|t≥0}。 E7：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度 。 }|),{( 107 TyxTyxS ????這里 x表示最低溫度， y表示最高溫度 . 并設(shè)這一地區(qū)的溫度不會小于 T0，也不會大于 T1。 2022/1/4 10 “ 在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情”叫做 隨機(jī)事件 （試驗(yàn) E的樣本空間 S的子集） ,簡稱 事件 . 如在上面的例子中，“出現(xiàn)正面” ,“ 出現(xiàn)反面” , “ 點(diǎn)數(shù) 4”,“ 出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)” , {t1000}等都是隨機(jī)事件 . 事件是由樣本空間中某些樣本點(diǎn)組成的集合 ,事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的某一個樣本點(diǎn)出現(xiàn)。 隨機(jī)事件 2022/1/4 11 基本事件 :由一個樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集 .如 :{H},{T}. 必然事件 : 樣本空間 S是自身的子集，在每次試驗(yàn)中總是發(fā)生的，稱為必然事件。 復(fù)合事件 :由兩或兩個以上的基本事件復(fù)合而成的事件，稱為復(fù)合事件 . 如 :E3中 {出現(xiàn)正面次數(shù)為偶數(shù) }. 不可能事件 ：空集 不包含任何樣本點(diǎn)，它在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生，稱為不可能事件。 ?2022/1/4 12 : BA ?)1(A B S 若事件 A發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B發(fā)生 , 則稱事件 B包含事件 A,記作 A?B. 若 A ? B且 A ?B, 即 A=B, 則稱 A與 B相等。 167。 2 事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算 2022/1/4 13 B A S BA ? ( 2 ) : } | { ? ? ? ? B x A x x B A 或 ? B A “事件 A與 B至少有一個發(fā)生 ” 稱為事件A與 B的并 (或和事件），記 。 . 1 ? ? ? k k A , , 2 1 A A 的并事件記為 可列個事件 L 2022/1/4 14 ：“事件 A與 B同時發(fā)生”這一事件稱為 A與 B的交（積事件） ，記作 A? B (AB)， A? B={x|x ? A 且 x ?B} 類似地，事件 為可列個事件 A1， A2， …的交 . 1 kkA??BA ?)3(B A S 2022/1/4 15 : 事件 AB={x|x?A且 x?B} 稱為 A與 B的差 .當(dāng)且僅當(dāng) A發(fā)生 , B不發(fā)生時事件 AB發(fā)生 .即 : A B A B A AB? ? ?BA ?)4(A B S 顯然 : AA= , A =A, A S = ? ? ?2022/1/4 16 (1)基本事件是兩兩互不相容的 ,即樣本點(diǎn)是互不相容的 ,事件 A與 BA是互不相容的 . AB ??5. 互不相容事件 (互斥事件 ): (2)若用集合表示事件 , 則 A,B互不相容即為 A與 B是不相交的 . A B S B A f ? ? 若 則稱 A與 B是互不相容的，或互斥的，即 A與 B不能同時發(fā)生。 2022/1/4 17 6. 對立事件 (逆事件 )： S A B AB ?A B S A B? ? ? ? ?且若 ，則稱 A與 B互為逆事件，也稱為對立事件。即在一次實(shí)驗(yàn)中，事件 A與 B中必然有一個發(fā)生，且僅有一個發(fā)生。 A的對立事件記為 。若 A與 B互為對立事件，則記為 。 A,A B B A??或2022/1/4 18 .ABBAABBA ???? ?? ； : ).()()()。()()(CABACBACABACBA????????????交換律 : 結(jié)合律 : )()(),()(BCACABCBACBA?? ????分配律： 2022/1/4 19 .}{ }{ BABABABA?????都不發(fā)生、至少發(fā)生一個、說明 : 摩根律 推廣 ： ????iiiiiiii AAAA ?? ,.。 BABABABA ???? ??德 摩根律 : 2022/1/4 20 II I III 例 1 如右圖所示的電路中，以 A表示“信號燈亮”這一事件，以 B, C, D分別表示事件：開關(guān)接點(diǎn) I, II, III閉合，那么容易知道 BC ?又( I I II I I BC左 邊 表 示 事 件 “ ， 至 少 有 一 個 閉 合 ” 的 逆 事 件 ，也 就 是 ， 都 不 閉 合 ， 即 ， 同 時 發(fā) 生 。 ）BC,BC A BD A?? BC BD ? ,A BA ?而 ?，BA即 事 件 與 事 件 互 不 相 容 。2022/1/4 21 例 2 高射炮對模型飛機(jī)射擊三次，設(shè) Ai表示“第 i次擊中飛機(jī)”，用 Ai表示下列事件 （ 1） B1“只有第一次擊中飛機(jī)” （ 2） B2“ 恰有一次擊中飛機(jī)” （ 3） B3“ 至少有一次擊中飛機(jī)” （ 4）三次擊中飛機(jī)時，擊落了飛機(jī) , B4:“飛機(jī) 沒有被擊落” 2022/1/4 22 解 3213213212 )2( AAAAAAAAAB ???32132133213 , )3(AAAAAABAAAB????? 所以3211 AAAB ?32132143214 )4(AAAAAABAAAB?????所以由于(1) 2022/1/4 23 (一 ) 頻率 1. 將一試驗(yàn) E在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行 n次 ,如果事件 A發(fā)生了 nA次 , 則比值 nA/n 稱為 事件 A發(fā)生的頻率 ,記為 fn(A). （非負(fù)性）；）（ 10 )1( ?? Af n? ? （規(guī)范性） 。1 )2( ?Sf n,( ) ( ) ( )n n nABf A B f A f B??(3) 可 加 性 ： 對 互 斥 事 件 ， 有頻率的基本性質(zhì)： 167。 3 頻率與概率 2022/1/4 24 則兩兩互不相容，推廣：若 ,21 kAAA L12 ( )nkf A A A有限可加性）) . (()()( 21 knnn AfAfAf ???? L頻率的特性 : 波動性 和 穩(wěn)定性 . 說明 (1) 波動性 : 對于同樣的試驗(yàn)次數(shù) , 不同的試驗(yàn)其頻率不同 。 對于同一試驗(yàn) , 不同的試驗(yàn)次數(shù) n, 其頻率也不同 , 當(dāng) n較小時 , fn(A)隨機(jī)波動的幅度較大 . (2)穩(wěn)定性 :隨著 n逐漸增大，事件 A的頻率總在某一定值 P(A)的附近擺動而逐漸穩(wěn)定于這個值，這個定值 P(A)通常稱為頻率的穩(wěn)定值。 2022/1/4 25 15()HnnHf H H例 考 慮 “ 拋 硬 幣 ” 這 個 實(shí) 驗(yàn) ， 我 們 將 一 枚 硬 幣 拋 擲 次 、 50 次 、500 次 ， 各 做 10 遍 。 得 到 數(shù) 據(jù) 如 表 1 所 示 （ 其 中 表 示