【正文】 第六章 離散系統(tǒng)的 Z域分析 ? 概論： ? 與連續(xù)系統(tǒng)相似，線形離散系統(tǒng)也可用變換法分析，其中傅立葉分析將在有關數(shù)字信號處理等課程中討論，本書只討論 Z變換分析法。在 LTI離散系統(tǒng)分析中， Z變換的作用類似于連續(xù)系統(tǒng)分析中的拉普拉斯變換，他將描述系統(tǒng)的差分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程，而且代數(shù)方程中包含了系統(tǒng)的初始狀態(tài)，從而可求得系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應以及全響應。這里用于分析系統(tǒng)的獨立狀態(tài)變量是復變量 Z,故稱為 Z域分析。 本章共包含四部分內(nèi)容 ? 第一節(jié) Z變換 ? 第二節(jié) Z變換的性質(zhì) ? 第三節(jié) 逆 Z變換 ? 第四節(jié) Z域分析 ? 總結(jié) 第一節(jié) Z變換 — 、從拉普拉斯變換到 Z變換 連續(xù)時間信號進行均勻抽樣可得到離散時間信號，設抽樣脈沖為 ，則： f(t)= = 對該式進行雙邊拉氏變換得： F(S)=￡ [ ]=￡ [ ]= ￡ [δ(tKT)]= 令 Z= 即將變量變?yōu)?Z,則上式為： F(Z)= 該式稱為 f(KT)的雙邊 Z變換 .由以上分析可得雙邊變換和拉氏變換的關系： T)()( ttf T?)(tT?? ??? ??? ?? ??? ???k k KTtKTfKTttf )()()()( ??)(tfs ???????kKTtKTf )()( ???????k KTf )( ???????kK STeKTf )(STe???????kKZKTf )( 為了方便，取周期 T=1，即 f(KT)=f(K) 二、 Z變換： 對離散序列 f(k),k=0, 177。 1, 177。 2…… 則： ,稱為雙邊 Z變換。 對因果信號，單邊與 Z雙邊變換相等，重點研究雙邊 Z變換。 三、收斂域 Z變換存在的條件： 即：上式絕對可和，它為 f(k)的 Z 變換存在的充要條件。 例 求有限長序列 Z的變換 (1)f(k)=δ(k) 解： F(Z)= 收斂域：全平面收斂 (2)f(k)= 1 2 3 2 1 解： 收斂域： 0﹤ ︱ z︱ ﹤ ∞ ZTSeZ STln1???????? ?? k ZkfZF 1)()(?????????kkZkf )(?? ???? ???? ?? ? kk kk Z k01 ) ( ) (? ?k=0 ??????? ??????kkZZZZZkfZF 22 1232)()( 例 求因果序列 的 Z變換，其中 a為常數(shù)。 解： 即： 例 求反因果序列 的 Z變換，其中 b 為常數(shù)。 解： ? ? ? ? 0,1 ??? kakakf kk ?? ? ? ? ? ? ????? ? ???????????1111 11l i maZaZZkaZF NNkkk ?aZaZaZaZZ????,無界不定? ? ? ? aZaZ ZZFkf ???? ,11? ? ? ? 0,12 ????? kbkbkf kk ?? ? ? ? ? ??? ??????????? ???? 1 12 1kkkkk bZZkbZF ? ∣ Z∣ ∣ b∣ = = 不變 ∣ Z∣ =∣ b∣ 無界 ∣ Z∣ ∣ b∣ 即： 其中： ∣ Z∣ ∣ b∣ 例 4：求雙邊序列 的 Z變換 解： 收斂域為： ∣ a∣ Z∣ b∣ 由以上分析可得以下結(jié)論： 有限長序列的收斂域： 0∣ Z∣≦ ∞（全左邊） 0≦∣ Z∣ ∞（全右邊） 0 ∣ Z∣ ∞( 雙邊 ） 左邊序列（反因果序列）的收斂域為： ∣ Z∣ ∣ b∣ ZbZbZbZbZb NN11111111)(lim11)(1lim???????????????? ???bZZ??bZZZFkf???? )()(22)1()()()()( 21 ?????? kbkakfkfkf kk ??bZ ZaZZFZFZF ?????? )()()( 21 右邊序列（因果序列）的收斂域為： ∣ Z∣ ∣ a∣ 雙邊序列的收斂域為： ∣ a∣ ∣ Z∣ ∣ b∣ 下面列出常用序列的 Z變換 : bZbZZkbbZbZZkbaZaZZkaaZaZZkakkkk????????????????????,)1()(,)1(,)()(,)(????第二節(jié) Z變換的性質(zhì) 本節(jié)討論 Z變換的一些基本性質(zhì)和定理，這對于熟悉和掌握 Z變換的方法，用以分析離散系統(tǒng)等都是很重要的。下面一些性質(zhì)無特殊說明，既適應于 Z單邊變換，也適應于雙邊 Z變換。 主要有以下幾條： 一、線性 若： 則 : 其收斂域為公共部分。 例 1：已知： 求： Z的變換 解：有已知得： 22221111),()(),()(??????????ZZFkfZZFkf)()()()( 22112211 ZFaZFatfatfa ???)()21()1()2()(),()( 21 kkkfkkf kk ??? ?????)()()( 21 kfkfkf ?? 二者的 Z變換為： 則： 例 2：求單邊余弦 cos(βk)ε(k)和單邊正弦 sin (βk)ε(k)的 Z變換 解： = 同理： 二、移位特性 這個性質(zhì)比較重要，類似于 S域變換中的微分特性和積分特性。對于 Z單邊和雙邊 Z變換結(jié)果不同。 221,)2)(21(23221)(。1,1)( 21 ?????????????? ZZZZZZZZkfZZZkf21,)2)(21(231)()()( 21 ?????????? ZZZZZZkfkfkf)]([21)]([21)]()[ c o s ()(21)s i n (),(21)c o s (keZkeZkkZeejkeekkjkjkjkjkjkj?????????????????????1,1c o s2 c o s2121 2 2 ??? ????? ? ZZZ ZZeZ ZeZ Z jj ????1,1co s2 s i n)()s i n ( 2 ???? ZZZ Zkk ???? （ 1）雙邊變換的移位特性 若： 則： 其中： m為 整數(shù) 例 3:已知長為 M的矩形序列 = 1 M≦ k≦ M 求其雙邊 Z變換 0 其他 解： 由移微特性得： 所以： ?? ??? ZZFkf ),()(?? ???? ? ZZFZmkf m ),()(12 ?MP1,1)()]1([)()(12?????????ZZ ZkMkMkkP M???1,1)]1([1,1)()1( ????????????? ZZZZMkZZZZMkMM??????????? ????? ZZZZ ZZZ ZZkPZ MMMMM 1,111)]([ 112)1(12 （ 2）單邊 Z變換的移位特性： 設： 其中 m 為整數(shù)； 則： 收斂域不變： ∣ Z∣ a 例 4：已知 (a為實數(shù)）的單邊 Z變換為 aZZFkf ?? ),()(????????????????????????????????????102210121)()()()1()0()()2()0()()1()()()()1()2()()2()1()()1(mkkmmmkmmZkfZFZmkfZfZfZFZkfZfZZFkfZmkfZ