【正文】 為 Z域分析。第六章 離散系統(tǒng)的 Z域分析 ? 概論： ? 與連續(xù)系統(tǒng)相似，線形離散系統(tǒng)也可用變換法分析，其中傅立葉分析將在有關(guān)數(shù)字信號處理等課程中討論，本書只討論 Z變換分析法。在 LTI離散系統(tǒng)分析中， Z變換的作用類似于連續(xù)系統(tǒng)分析中的拉普拉斯變換，他將描述系統(tǒng)的差分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程，而且代數(shù)方程中包含了系統(tǒng)的初始狀態(tài)，從而可求得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)以及全響應(yīng)。 本章共包含四部分內(nèi)容 ? 第一節(jié) Z變換 ? 第二節(jié) Z變換的性質(zhì) ? 第三節(jié) 逆 Z變換 ? 第四節(jié) Z域分析 ? 總結(jié) 第一節(jié) Z變換 — 、從拉普拉斯變換到 Z變換 連續(xù)時(shí)間信號進(jìn)行均勻抽樣可得到離散時(shí)間信號，設(shè)抽樣脈沖為 ，則： f(t)= = 對該式進(jìn)行雙邊拉氏變換得： F(S)=￡ [ ]=￡ [ ]= ￡ [δ(tKT)]= 令 Z= 即將變量變?yōu)?Z,則上式為： F(Z)= 該式稱為 f(KT)的雙邊 Z變換 .由以上分析可得雙邊變換和拉氏變換的關(guān)系： T)()( ttf T?)(tT?? ??? ??? ?? ??? ???k k KTtKTfKTttf )()()()( ??)(tfs ???????kKTtKTf )()( ???????k KTf )( ???????kK STeKTf )(STe???????kKZKTf )( 為了方便，取周期 T=1，即 f(KT)=f(K) 二、 Z變換： 對離散序列 f(k),k=0, 177。 2…… 則： ,稱為雙邊 Z變換。 三、收斂域 Z變換存在的條件： 即：上式絕對可和，它為 f(k)的 Z 變換存在的充要條件。 解： 即： 例 求反因果序列 的 Z變換，其中 b 為常數(shù)。下面一些性質(zhì)無特殊說明，既適應(yīng)于 Z單邊變換，也適應(yīng)于雙邊 Z變換。 例 1：已知： 求： Z的變換 解：有已知得： 22221111),()(),()(??????????ZZFkfZZFkf)()()()( 22112211 ZFaZFatfatfa ???)()21()1()2()(),()( 21 kkkfkkf kk ??? ?????)()()( 21 kfkfkf ?? 二者的 Z變換為： 則： 例 2：求單邊余弦 cos(βk)ε(k)和單邊正弦 sin (βk)ε(k)的 Z變換 解： = 同理： 二、移位特性 這個(gè)性質(zhì)比較重要，類似于 S域變換中的微分特性和積分特性。 221,)2)(21(23221)(。),()( ???? ?????? ZZFkfZZFkf)()()()( 2121 ZFZFkfkf ?? 例 7：求單邊序列 (k+1)ε(k)和 的 Z變換 解：因?yàn)椋? = 當(dāng) a=b=1時(shí)，則 又因?yàn)椋? 又（ k+1） ε（ k)左移一位為： kε(k1),由移位特性得： 而因 k=0,kε(k1)=0得： kε(k1)= kε(k） 則： )()1( kak k??)()( kbka kk ?? ?bakakbaab abkkk???????),()1(,11?)()1()()( kkkk ??? ???aZaZZkakakakZZZZZZZkkkkaZZkaZZkkkkk????????????????????,)()()()()1(1,)1(11)()()()1()(,1)(22????????221 )1()1()1( ????? ? Z ZZ ZZkk ?1,)1()( 2 ??? ZZ Zkk? 例 8：求雙邊三角序列 f(k)的 Z變換 解： 即： 因?yàn)椋? 所以： 五：序列乘 k(Z域微分） 注意： f(k)為離散的，而 Z域?yàn)檫B續(xù)的 。求逆變換的方法有三種：冪級數(shù)展開法、部分分式展開法和反演積分（留數(shù)法）等，本節(jié)重點(diǎn)討論最常用的部分分式展開法。因此本節(jié)重點(diǎn)研究因果序列象函數(shù) 的逆變換，顯然那它是單邊的變換 。 一、冪級數(shù)展開法 ： 步驟為：先由 F(Z)的收斂域確定原序列的形式（因果反因果或雙 邊），然后再利用長除法將 F(Z)展為冪級數(shù)，取其系數(shù)即可得到 f(k). 例 1：已知 求收斂域?yàn)? 的 Z 變換。 )1()()()()()()( 21 ?????? kkfkkfkfkfkf ????? ??? ????? k kZkfkfkfZZFkf )()]()([)()( 21???? ???? 0111 )()]([)()( k kZkfkfZZFkf???? ???? 0222 )()]([)()( k kZkfkfZZFkf,)2)(1()( 2 ??? ZZ ZZF 21,1,2 ???? ZZZ1?Z 具體作法如下： 即得如下結(jié)果： 則： k=0 (2)F(Z)的收斂域?yàn)?︱ Z︱ 1時(shí)，序列為反因果序列，利用長除法 展為 的冪級數(shù)時(shí)為時(shí)冪級數(shù)。 具體作法如下： 22 2 ZZZ ??. . . . . .531)( 321 ????? ??? ZZZZF? ?......5,3,1,1)( ?kf1?Z222 ZZZ ???0214183165......)( 2345 ?????? ZZZZZF?????? ??? 0,21,41,83,165. . . . . .)( kf 將 F(Z)進(jìn)行分解可得 : 為因果序列，展開為： 為反因果序列展開為： k=0 注意：這種方法一般不寫出 f(k)的閉合形式，另外也可利用其他冪 級數(shù) 的展開式求。(0,1,)(,)(1假分式? ?? ?21)( 2 ??? ZZ ZZF21,1,2 ???? ZZZ? ?? ? 2121)( 212 ??????? Z kZ kZZZ ZZZF32)()2(31)()1(2211?????????ZZZZFZkZZFZk 則： 當(dāng)： ︱ Z︱ 2時(shí)， 當(dāng)： ︱ Z︱ 1時(shí)， 當(dāng)： 1︱ Z︱ 2時(shí)， 例 4：已知 求其逆 Z變換 解： 求出 所以： 由此可得： 232131)(???? ZZZZZF)1(])2(32)1(31[)()(])2(32)1(31[)(?????????kkfkkfkkkk??? ? ? ? ? ? ? ?1232)1(31 ????? kkkf kk ??? ?? ?? ?? ?21,3212121214 23??????????? ??????? ???? ZZZZZZZZZZF32121)( 4321???????? ZkZkZkZkZZF1,1,2,1 4321 ?????? kkkk21,3212)(21???????????? ZZ ZZ ZZ ZZ ZZF? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?kkkkkktf kkkkkkk ?????? ]212[1)32(13121221)( ??????????????????????????????????? 有共軛極點(diǎn)時(shí)： 設(shè) 則 ： 其中 為單極點(diǎn)部分，處理 方法同上； 為共軛極點(diǎn)對應(yīng)部分，處理方法如下： 令： ZZF )(cda r c t gdcejdcZ j ?????? ??? ? , 222,1Z ZFZ ZFZZF ba )()()( ?? ZZFb )(ZZFa )(? ? ??????????????????????ZkkkkfekZZFZZkkkjdcZkjdcZkZZFkajZZai,)c o s (2)()()()(11112121????? ?????? Zkkkkf ka ),1()c o s (2)( 1 例 5：求 的逆 Z變換 解：由已知得：極點(diǎn)為 所以： 2,)4)(1( 6)( 23 ??? ?? ZZZ ZZF? ?? ?)(221416)(2,10022102323,21??????????????????????ZjZZFZkjZkjZkZkZkZZZZZZFejZZ?。 其中： 例 6：求 的逆 Z變換 ZZF )(ZZFaZkaZkaZkZZFZZFZZF brrrba)(. . . . . .)()()()()( 111211 ?????????? ?aZriii Z ZFaZdZdik ??