[理學(xué)]第十二講回歸分析(已修改)
2025-10-26 01:05 本頁面
【正文】 2021/11/10 1 回歸分析 2021/11/10 2 回歸分析在一組數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上研究這樣幾個問題： （ i）建立因變量 y與自變量 x , x , , xm 之間的回歸模型（經(jīng)驗公式）； （ ii）對回歸模型的可信度進行檢驗； （ iii）判斷每個自變量 x (i=1,2,…, m) 對 y 的影響是否顯著； （ iv）診斷回歸模型是否適合這組數(shù)據(jù)； （ v）利用回歸模型對 y 進行預(yù)報或控制。 2021/11/10 3 一元線性回歸 多元線性回歸 回歸分析 數(shù)學(xué)模型及定義 *模型參數(shù)估計 *檢驗、預(yù)測與控制 可線性化的一元非線 性回歸（曲線回歸） 數(shù)學(xué)模型及定義 *模型參數(shù)估計 *多元線性回歸中的 檢驗與預(yù)測 逐步回歸分析 2021/11/10 4 一、數(shù)學(xué)模型 例 1 測 16名成年女子的身高與腿長所得數(shù)據(jù)如下： 身高 143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164腿長 88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102以身高 x為橫坐標(biāo)，以腿長 y為縱坐標(biāo)將這些數(shù)據(jù)點（ xI， yi）在平面直角坐標(biāo)系上標(biāo)出 . 140 145 150 155 160 1658486889092949698100102散點圖 ??? ??? xy 102021/11/10 5 一般地，稱由 ??? ??? xy10確定的模型為 一元線性回歸模型 ，記為 ????????210,0 ??????DExy固定的未知參數(shù)0? 、1? 稱為回歸系數(shù)，自變量 x 也稱為回歸變量 .一元線性回歸分析的 主要任務(wù) 是： 1 、用試驗值 （樣本值）對0? 、1? 和? 作點估計；2 、對回歸系數(shù)0? 、1? 作假設(shè)檢驗； 3 、在 x=0x 處對 y 作預(yù)測，對 y 作區(qū)間估計 .xY 10 ?? ?? ，稱為 y 對 x 的回歸直線方程 .2021/11/10 6 二、模型參數(shù)估計 回歸系數(shù)的最小二乘估計 有 n 組獨立觀測值， （ x1， y1）， （ x2， y2），?， （ xn， yn） 設(shè) ?????????相互獨立且 ，niiiiDEnixy?????????... , ,0,.. .,2,1,21210 記 ? ??????????niiiniixy12101210),( ?????最小二乘法 就是選擇0? 和1? 的估計0?? ，1?? 使得 ),(m i n)?,?(10,1010?????? ?2021/11/10 7 ??????????22110???xxyxxyxy???解得（經(jīng)驗）回歸方程為 : )(???? 110 xxyxy ????? ??? 或 ? ?? ?? ?????????niiniiixxyyxx1211??其中 ??????niinii ynyxnx111,1 ?????? niiinii yxnxyxnx1122 1,12021/11/10 8 2 、 2? 的無偏估計記 ? ?? ?? ???????niniiiiieyyxy1 1221010)?(??)?,?( ???? 稱 Qe為 殘差平方和 或 剩余平方和 . 2?的無偏估計 為 )2(? 2 ?? nQ ee? 稱2?e?為 剩余方差（殘差的方差） ， 2?e?分別與0??、1??獨立 。 e??稱為 剩余標(biāo)準差 . 一個好的擬合方程，其殘差應(yīng)越小越好。殘差越小，擬合值與觀測值越接近，各觀測點在擬合直線周圍聚集的緊密程度越高，也就是說，擬合方程 解釋 y 的能力越強。另外，當(dāng)剩余標(biāo)準差 越小時，還說明殘差值的變異程度越小。由于殘差的樣本均值為零。所以，其離散范圍越小，擬合的模型就越為精確。 2021/11/10 9 三、檢驗、預(yù)測與控制 顯著性檢驗 例如 對回歸方程 xY 10 ?? ?? 的顯著性檢驗，歸結(jié)為對假設(shè) 0:。0: 1110 ?? ?? HH 進行檢驗 . 假設(shè) 0: 10 ??H 被拒絕，則回歸顯著，認為 y 與 x 存在線性關(guān)系，所求的線性回歸方程有意義；否則回歸不顯著， y 與 x 的關(guān)系不能用一元線性回歸模型來描述，所得的回歸方程也無意義 .一般地，回歸方程的假設(shè)檢驗包括兩個方面：一個是對模型的檢驗，即檢驗自變量與因變量之間的關(guān)系能否用一個線性模型來表示，這是由 F 檢驗來完成的；另一個檢驗是關(guān)于回歸參數(shù)的檢驗，即當(dāng)模型檢驗通過后，還要具體檢驗每一個自變量對因變量的影響程度是否顯著。這是由 t 檢驗完成。在一元線性分析中，由于自變量的個數(shù)只有一個，這兩種檢驗是統(tǒng)一的，它們的效果完全是等價的。但是，在多元線性回歸分析中，這兩個檢驗的意義是不同的。從邏輯上說，一般常在 F 檢驗通過后，再進一步進行 t 檢驗。 2021/11/10 10 （ Ⅰ ） F檢驗法 當(dāng)0H 成立時， )2/( ??nQUFe~F （ 1 ， n 2 ）其中 ? ?????niiyyU12? （ 回歸平方和）故 F )2,1(1??nF?，拒絕0H ，否則就接受0H . （ Ⅱ ） t檢驗法 ???????? niiniixx xnxxxL12212)(其中當(dāng) 0H 成立時，exxLT????1? ~t （ n 2 ）故 )2(21???ntT ? ，拒絕0H ，否則就接受 0H .2021/11/10 11 （ Ⅲ ） r檢驗法 當(dāng) | r | r 1 α 時，拒絕 H 0 ；否則就接受 H 0 .記 ? ??? ???????niniiiniiiyyxxyyxxr1 1221)()())((其中 ? ? ? ?2,121 111 ?????
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