[理學(xué)]積分變換第8講(已修改)
2024-10-28 18:58 本頁(yè)面
【正文】 1 工程數(shù)學(xué) 第 8講 2 拉氏變換的應(yīng)用 3 對(duì)一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行分析和研究 , 首先要知道該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 , 也就是要建立該系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式 . 所謂線性系統(tǒng) , 在許多場(chǎng)合 , 它的數(shù)學(xué)模型可以用一個(gè)線性微分方程來(lái)描述 , 或者說(shuō)是滿足疊加原理的一類系統(tǒng) . 這一類系統(tǒng)無(wú)論是在電路理論還是在自動(dòng)控制理論的研究中 , 都占有很重要的地位 . 本節(jié)將應(yīng)用拉氏變換來(lái)解線性微分方程和建立線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的概念 . 4 微分方程的拉氏變換解法 象原函數(shù) (微分方程的解 ) 象函數(shù) 微分方程 象函數(shù)的 代數(shù)方程 取拉氏逆變換 取拉氏變換 解代數(shù) 方程 首先取拉氏變換將微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程 , 解代數(shù)方程求出象函數(shù) , 再取逆變換得最后的解 . 如下圖所示 . 5 例 1 求方程 y39。39。+2y39。3y=et 滿足初始條件 1,0 00 =?= == tt yy2( ) ( 0 ) ( 0 ) 2 ( ) 2 ( 0 )13 ( )1s Y s s y y s Y s yYss? ? =? 的解 . 設(shè) L [y(t)]=Y(s). 對(duì)方程的兩邊取拉氏變換 , 并考慮到初始條件 , 則得 2 1( ) 1 2 ( ) 3 ( )1即 s Y s sY s Y ss ? =?6 由 11)(3)(21)(2?=? ssYssYsYs解出 Y(s) 2 12( 2 3 ) ( ) 111ss s Y sss?? = ? =??22()( 1 ) ( 2 3 )sYss s s?=? ? 2 12 4 1 22 3 032的 解 為s s s? ? ?? = = = ??7 即 Y(s)有三個(gè)單極點(diǎn)為 1,1,3 12( ) e3 6 1tyt ?=2 3 2 222()( 1 ) ( 2 3 ) 2 3 2 3ssYss s s s s s s s??==? ? ? ? ? B39。(s)=3s2+6s1, 因此 322 ( )3 3 ( )s A ss s s B s?==? 12 e3 6 1t???332 e2 7 1 8 1t??31 3 1e e e4 8 8t t t= ? 8 例 2 求解方程組 ???=??????=??????txyxyyxxy t222e???=?==?=0)0()0(0)0()0(xxyy的解 . 滿足初始條件 9 ???=??????=??????txyxyyxxy t222e?????=?=?222221)()(2)()(2211)()()()(ssXssYsXssYssssYssXsXssYs???????=??=?)1(1)()1()(2)1(2)()()1(22sssXsssYsssssXsYs對(duì)兩個(gè)方程取拉氏變換 , 設(shè) L [y(t)]=Y(s), L [x(t)]=X(s), 并考慮到初始條件 , 得 整理得 10 解此線性方程組 222( 1 ) ( ) ( )( 1 )12 ( ) ( 1 ) ( )( 1 )ss Y s sX ssssY s s X sss??? =???? ? = ? ?221 ( 1 ) 22 ( 1 )ssD s sss?= = ? ? =?2 2 22 1 2 2 1s s s s s= ? = 11 222( 1 )1( 1 )( 1 )YssssDsss?= ?2221 ( 2) ( 1 ) 11( 1 ) ( 1 )1sss s sss s s sss ? ?== ?22222 1 2 1( 1 ) ( 1 )s s s s ss s s s ? ==21()( 1 )YDYsD s s== 2 ( ) 1 e e由 上 講 例 可 得 tty t t= ? 12 2 21D s s= 2
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1