第二章控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型(已修改)
2025-10-22 12:34 本頁面
【正文】 第二章 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型： 描述系統(tǒng)各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，叫做系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 本章主要內(nèi)容： ? 系統(tǒng)和元件數(shù)學(xué)模型的建立 ? 傳遞函數(shù)的概念 ? 結(jié)構(gòu)圖建立及化簡 ? 信號流圖的概念及流圖總增益的計算 167。 21 數(shù)學(xué)模型 動態(tài)模型：描述系統(tǒng)動態(tài)過程的方程式稱為動態(tài)模型。 如微分方程、偏微分方程、差分方程等。 靜態(tài)模型：在靜態(tài)條件下 (即變量的各階導(dǎo)數(shù)為零 )，描述 系統(tǒng)各變量之間關(guān)系的方程式，稱為靜態(tài)模型。 建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的途徑 ： ?理論推導(dǎo)法 —— 通過系統(tǒng)本身機(jī)理 (物理、化學(xué)規(guī)律 )的分析 確定模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，從理論上推導(dǎo)出系 統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 ?實(shí)驗(yàn)測試法 —— 根據(jù)對系統(tǒng)的觀察，通過測量所得到的大量輸 入、輸出數(shù)據(jù)，推斷出被研究系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 數(shù)學(xué)模型 167。 22 系統(tǒng)微分方程式的建立 建立系統(tǒng) (或元件 )微分方程式的一般步驟： (1)確定輸入變量和輸出變量 。 (2)根 據(jù)物理或化學(xué)定律，列出系統(tǒng) (或元件 )的原始方程式； (3)找出 原始方程式中中間變量與其它因素的關(guān)系式； (4)消去中間變量， 得 到 輸入輸出關(guān)系方程式 ； (5)若所求 輸入輸出關(guān)系 為非線性方程 ，則需進(jìn)行線性化； (6) 標(biāo)準(zhǔn)化。將輸入項(xiàng)及各階導(dǎo)數(shù)放到方程的右邊，將輸出項(xiàng)及各階導(dǎo)數(shù)放到方程的左邊，然后按降冪的順序排列 。 建模舉例 1 彈簧 — 質(zhì)量 — 阻尼器系統(tǒng) 輸入 —— f (t) 輸出 —— y(t) （ 1）列出原始方程式。根據(jù)牛頓第二定律，有 要求寫出系統(tǒng)在外力 f (t)作用下的運(yùn)動方程式 2221 dd)()()(tyMtftftf ???阻尼器阻力 彈簧力 （ 2）消去中間變量 ttyBtfd)(d)(1 ?B—— 阻尼系數(shù) f2 (t) = Ky(t) K—— 彈性系數(shù) )()(d )(dd )(d 22 tftKyt tyBt tyM ???代入上式并整理 —— 線性定常二階微分方程式 建模舉例 2 RLC電路 ur(t)為輸入電壓， uc(t)為輸出電壓。 要求列出 uc(t)與 ur(t)的關(guān)系方程式。 （ 1） 根據(jù)克?；舴蚨煽蓪懗鲈挤匠淌? ? ??? )(d1dd tutiCRitiL r（ 2）式中 i是中間變量，它與輸出 uc(t)有如下關(guān)系 ?? tiCtu c d1)(（ 3）消去中間變量 i后，得輸入輸出微分方程式 )()(d )(dd )(d 22tutut tuRCt tuLC rccc ???)()(d )(dd )(d 22221 tututtuTttuTTrccc ???或 式中 T1=L/R， T2=RC 為該電路的兩個時間常數(shù) 建模舉例 3 電樞控制的直流電動機(jī) 電樞電壓控制的直流電動機(jī)線路原理圖和結(jié)構(gòu)圖如下： （ 1）列寫原始方程式。電樞回路方程式： 輸入 — 電樞電壓 ua ， 輸出 — 軸角位移 q 或角速度 w ， 擾動 — 負(fù)載轉(zhuǎn)矩 ML變化 aeaaa uKiRtiL ??? wdd式中 La—— 電樞回路總電感 (亨 )； Ra—— 電樞回路總電阻 (歐 )； Ke—— 電勢系數(shù) (伏 /弧度 /秒 )； w —— 電動機(jī)角速度 (弧度 /秒 )； ua—— 電樞電壓 (伏 )； ia —— 電樞電流 (安 )。 根據(jù)剛體旋轉(zhuǎn)定律 ， 寫出運(yùn)動方程式 dL MMtJ ??dd w式中 J—— 轉(zhuǎn)動部分轉(zhuǎn)動慣量 (公斤 米 2) ； ML—— 電動機(jī)軸上負(fù)載轉(zhuǎn)矩 (牛頓 米 )； Md— 電動機(jī)轉(zhuǎn)矩 (牛頓 米 )。 （ 2） Md和 ia是中間變量。由于電動機(jī)轉(zhuǎn)矩與電樞電流和氣隙磁通的乘積成正比，現(xiàn)在磁通恒定，所以有 amd iKM ?Km— 電動機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù) (牛頓 米 /安 )。 聯(lián)立求解，整理后得 tMKKLMKKRuKtKKJRtKKJL LmeaLmeaaemeameadd1dddd22 ????? （續(xù)上頁） 若輸出為電動機(jī)的轉(zhuǎn)角 q ，則有 tMJTTMJTuKttTtTTLmaLmaemma dd1dddddd2233????? qqq—— 三階線性定常微分方程 meamKKJRT ? ——機(jī)電時間常數(shù)， (秒 )； aaa RLT ? — 電動機(jī)電樞回路時間常數(shù)，一般比 Tm小， (秒 )。 tMKKLMKKRuKtKKJRtKKJL LmeaLmeaaemeameadd1dddd22????? tMJTTMJTuKtTtTTLmaLmaemma dd1dddd22????? 或 建模舉例 4 磁場控制的直流電動機(jī) 設(shè) 電樞電流 Ia=常數(shù)， 氣隙磁通 F(t)? Kf if (t)， 激磁回路電感 Lf為常值。 （ 1） 激 磁回路方程式 tiRu fff dd ??? uf —— 激磁電壓 (伏 )； if —— 激磁電流 (安 )； Rf —— 激磁回路電阻 (歐 )； ? — 激磁繞組磁鏈 (韋 )。 （ 2）設(shè)電動機(jī)轉(zhuǎn)矩 Md是用來克服系統(tǒng)
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