【正文】 不要過(guò)于教條地對(duì)待研究的結(jié)果 ，尤其當(dāng)數(shù)據(jù)的質(zhì)量受到懷疑時(shí) 。 —— Damodar 統(tǒng)計(jì)名言 第八章 相關(guān)與回歸分析 相關(guān)分析 一元線(xiàn)性回歸分析 多元線(xiàn)性回歸分析 非線(xiàn)性回歸分析 學(xué)習(xí)目標(biāo) ? 相關(guān)關(guān)系的分析 ? 參數(shù)的最小二乘估計(jì) ? 回歸直線(xiàn)的擬合優(yōu)度 ? 回歸方程的顯著性檢驗(yàn) ? 利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè) ? 用 Excel 和 SPSS進(jìn)行回歸 子代與父代一樣嗎？ Galton被譽(yù)為現(xiàn)代回歸和相關(guān)技術(shù)的創(chuàng)始人 。 1875年 ， Galton利用豌豆實(shí)驗(yàn)來(lái)確定尺寸的遺傳規(guī)律 。他挑選了 7組不同尺寸的豌豆 ， 并說(shuō)服他在英國(guó)不同地區(qū)的朋友每一組種植 10粒種子 ， 最后把原始的豌豆種子 (父代 )與新長(zhǎng)的豌豆種子 (子代 )進(jìn)行尺寸比較 。 當(dāng)結(jié)果被繪制出來(lái)之后 ， 他發(fā)現(xiàn)并非每一個(gè)子代都與父代一樣 ， 不同的是 ， 尺寸小的豌豆會(huì)得到更大的子代 ， 而尺寸大的豌豆卻得到較小的子代 。Galton把這一現(xiàn)象叫做 “ 返祖 ” (趨向于祖先的某種平均類(lèi)型 )， 后來(lái)又稱(chēng)之為 “ 向平均回歸 ” 。 一個(gè)總體中在某一時(shí)期具有某一極端特征 (低于或高于總體均值 )的個(gè)體在未來(lái)的某一時(shí)期將減弱它的極端性(或者是單個(gè)個(gè)體或者是整個(gè)子代 )， 這一趨勢(shì)現(xiàn)在被稱(chēng)作 “ 回歸效應(yīng) ” 。 人們發(fā)現(xiàn)它的應(yīng)用很廣 ， 而不僅限于從一代到下一代豌豆大小問(wèn)題 子代與父代一樣嗎？ ? 正如 Galton進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)的那樣 ， 平均來(lái)說(shuō) ， 非常矮小的父輩傾向于有偏高的子代；而非常高大的父輩則傾向于有偏矮的子代 。 在第一次考試中成績(jī)最差的那些學(xué)生在第二次考試中傾向于有更好的成績(jī) (比較接近所有學(xué)生的平均成績(jī) )， 而第一次考試中成績(jī)最好的那些學(xué)生在第二次考試中則傾向于有較差的成績(jī) (同樣比較接近所有學(xué)生的平均成績(jī) )。 同樣 ， 平均來(lái)說(shuō) ， 第一年利潤(rùn)最低的公司第二年不會(huì)最差 ， 而第一年利潤(rùn)最高的公司第二年則不會(huì)是最好的 ? 如果把父代和子代看作兩個(gè)變量 ， 找出這兩個(gè)變量的關(guān)系 ， 并根據(jù)這種關(guān)系建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型 ， 就可以根據(jù)父代的數(shù)值預(yù)測(cè)子代的取值 ， 這就是經(jīng)典的回歸方法要解決的問(wèn)題 。 學(xué)完本章的內(nèi)容你會(huì)對(duì)回歸問(wèn)題有更深入的理解 變量間的關(guān)系 變量間是什么樣的關(guān)系？ 用散點(diǎn)圖描述相關(guān)關(guān)系 用相關(guān)系數(shù)度量關(guān)系強(qiáng)度 第 8 章 相關(guān)與回歸分析 怎樣分析變量間的關(guān)系？ ? 建立回歸模型時(shí) ， 首先需要弄清楚變量之間的關(guān)系 。 分析變量之間的關(guān)系需要解決下面的問(wèn)題 1. 變量之間是否存在關(guān)系 ？ 2. 如果存在 ， 它們之間是什么樣的關(guān)系 ？ 3. 變量之間的關(guān)系強(qiáng)度如何 ？ 4. 樣本所反映的變量之間的關(guān)系能否代表總體變量之間的關(guān)系 ？ 變量間是什么樣的關(guān)系？ 變量間的關(guān)系 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x y 函數(shù)關(guān)系 1. 是一一 對(duì)應(yīng)的確定關(guān)系 2. 設(shè) 有兩個(gè)變量 x 和 y ， 變量 y 隨變量 x 一起變化 ， 并完全依賴(lài)于 x ， 當(dāng)變量 x 取某個(gè)數(shù)值時(shí) ， y 依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值 ， 則稱(chēng) y 是 x 的函數(shù) ， 記為 y = f (x)， 其中 x 稱(chēng)為自變量 ， y 稱(chēng)為因變量 3. 各 觀測(cè)點(diǎn)落在一條線(xiàn)上 函數(shù)關(guān)系 (幾個(gè)例子 ) ? 函數(shù)關(guān)系的例子 ? 某種商品的銷(xiāo)售額 y與銷(xiāo)售量 x之間的關(guān)系可表示為 y = px (p 為單價(jià) ) ? 圓的面積 S與半徑之間的關(guān)系可表示為 S=?R2 ? 企業(yè)的原材料消耗額 y與產(chǎn)量 x1 、 單位產(chǎn)量消耗 x2 、 原材料價(jià)格 x3之間的關(guān)系可表示為 y = x1 x2 x3 相關(guān)關(guān)系 (幾個(gè)例子 ) ? 子女的身高與其父母身高的關(guān)系 ? 從遺傳學(xué)角度看 ， 父母身高較高時(shí) ， 其子女的身高一般也比較高 。 但實(shí)際情況并不完全是這樣 ， 因?yàn)樽优纳砀卟⒉煌耆怯筛改干砀咭粋€(gè)因素所決定的 ， 還有其他許多因素的影響 ? 一個(gè)人的收入水平同他受教育程度的關(guān)系 ? 收入水平相同的人 ， 他們受教育的程度也可能不同 ， 而受教育程度相同的人 ， 他們的收入水平也往往不同 。 因?yàn)槭杖胨诫m然與受教育程度有關(guān)系 ， 但它并不是決定收入的惟一因素 ， 還有職業(yè) 、 工作年限等諸多因素的影響 ? 農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量與降雨量之間的關(guān)系 ? 在一定條件下 ， 降雨量越多 ， 單位面積產(chǎn)量就越高 。 但產(chǎn)量并不是由降雨量一個(gè)因素決定的 ， 還有施肥量 、 溫度 、 管理水平等其他許多因素的影響 相關(guān)關(guān)系 (correlation) 1. 一個(gè)變量的取值不能由另一個(gè)變量唯一確定 2. 當(dāng)變量 x 取某個(gè)值時(shí) ， 變量 y 的取值對(duì)應(yīng)著一個(gè) 分布 3. 各觀測(cè) 點(diǎn)分布在直線(xiàn)周?chē)? 4. 變量之間存在非嚴(yán)格確定的依存關(guān)系 y ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 相關(guān)關(guān)系 (幾個(gè)例子 ) ? 相關(guān)關(guān)系的例子 ? 父親身高 y與子女身高 x之間的關(guān)系 ? 收入水平 y與受教育程度 x之間的關(guān)系 ? 糧食畝產(chǎn)量 y與施肥量 x1 、 降雨量 x2 、 溫度x3之間的關(guān)系 ? 商品的消費(fèi)量 y與居民收入 x之間的關(guān)系 ? 商品銷(xiāo)售額 y與廣告費(fèi)支出 x之間的關(guān)系 相關(guān)關(guān)系的分類(lèi) ? 按變量的多少分為 :單相關(guān)、復(fù)相關(guān)和偏相關(guān) ? 按相關(guān)程度分為 :完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān) ? 按相關(guān)形式分為：線(xiàn)性相關(guān)和非線(xiàn)性相關(guān) ? 按相關(guān)方向分為 :正相關(guān)和負(fù)相關(guān) ? 按相關(guān)性質(zhì)分為：真實(shí)相關(guān)和虛假相關(guān) 用相關(guān)表、相關(guān)圖描述相關(guān)關(guān)系 變量間的關(guān)系 相關(guān)表和相關(guān)圖 ? 相關(guān)表是一種反映變量之間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)表。將某一變量按其取值的大小排列，然后再將與其相關(guān)的另一變量的對(duì)應(yīng)值平行排列，便可得到簡(jiǎn)單的相關(guān)表。如前表 ? 相關(guān)圖又稱(chēng)散點(diǎn)圖。它是以直角坐標(biāo)系的橫軸代表變量 x，縱軸代表變量 Y，將兩個(gè)變量間相對(duì)應(yīng)的變量值用坐標(biāo)點(diǎn)的形式描繪出來(lái)，用來(lái)反映兩變量之間的相關(guān)關(guān)系的圖形。 ? 缺點(diǎn)：二者是研究相關(guān)關(guān)系的直觀工具，它們只能對(duì)現(xiàn)象之間存在的相關(guān)關(guān)系的方向、形式、密切程度作大致判斷，不能說(shuō)明具體相關(guān)關(guān)系的密切程度。因此需要計(jì)算相關(guān)系數(shù)。 用散點(diǎn)圖描述相關(guān)關(guān)系 變量間的關(guān)系 ? ? ? ? ? ? ? 完全負(fù)線(xiàn)性相關(guān) 完全正線(xiàn)性相關(guān) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 散點(diǎn)圖 (scatter diagram) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 不相關(guān) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 負(fù)線(xiàn)性相關(guān) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正線(xiàn)性相關(guān) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 非線(xiàn)性相關(guān) 完全負(fù)線(xiàn)性相關(guān)（散點(diǎn)圖舉例）從下圖可以看出，居民的消費(fèi)支出和可支配收入之間呈現(xiàn)正線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系 用相關(guān)系數(shù)度量關(guān)系強(qiáng)度 變量間的關(guān)系 2） 相關(guān)系數(shù) (correlation coefficient) 1. 對(duì)變量之間關(guān)系密切程度的度量 2. 對(duì)兩個(gè)變量之間線(xiàn)性相關(guān)程度的度量稱(chēng)為 簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù) 3. 反映一個(gè)因變量與兩個(gè)及兩個(gè)以上變量之間相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)稱(chēng)為 復(fù)相關(guān)系數(shù) 。 4. 偏相關(guān)系數(shù) 是指在多元相關(guān)分析中考慮其他變量但假定其保持不變的情況下計(jì)算出來(lái)的反映兩個(gè)變量之間相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)分析方法 。 5. 若相關(guān)系數(shù) 是