【正文】 中學(xué)數(shù)學(xué)建模及其活動(dòng)設(shè)計(jì) 隨著“數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”教育的不斷深入，近幾年來(lái)開始開展的“中學(xué)生數(shù)學(xué)建模”活動(dòng)也日益得到廣泛的注重，它作為“數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”教育的突破口和出發(fā)點(diǎn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的發(fā)展，已是歷史的必然。 一、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)模型法與數(shù)學(xué)建模 1．?dāng)?shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型有廣義和狹義兩方面的理解。廣義地理解，一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論（公式、定理、法則等）、數(shù)學(xué)事實(shí)（各種方程、函數(shù)式等），都可以稱之為數(shù)學(xué)模型。狹義地理解，只有反映特定現(xiàn)實(shí)原型的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)才稱為數(shù)學(xué)模型。應(yīng)用數(shù)學(xué)中 的數(shù)學(xué)模型都是指狹義理解的數(shù)學(xué)模型。作為實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，還必須具有抽象性、準(zhǔn)確性、演繹性、預(yù)測(cè)力等特性。 數(shù)學(xué)模型按其所描述的不同的自然現(xiàn)象和過程，大致有以下四種： （ 1） 確定性數(shù)學(xué)模型 。它描述自然界中最普遍、最常見的必然現(xiàn)象，這類現(xiàn)象或事物的產(chǎn)生和變化服從確定的因果關(guān)系，其表現(xiàn)形式可以是各種各樣的方程、關(guān)系式、邏輯關(guān)系式、網(wǎng)絡(luò)圖等。使用的工具是經(jīng)典數(shù)學(xué)的方法。 （ 2） 隨機(jī)性數(shù)學(xué)模型 。它描述自然界中大量存在的自然現(xiàn)象，這類現(xiàn)象對(duì)于某一特定事件來(lái)說(shuō)，它的變化發(fā)展結(jié)果有許多可能性，但對(duì)大量這 類事件或同一事件多次重復(fù)出現(xiàn)的總體來(lái)說(shuō)，這種變化是有規(guī)律的。使用的工具是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。 （ 3） 變突性數(shù)學(xué)模型 。它描述自然界中不連續(xù)的突變現(xiàn)象。使用的工具是變突理論。 （ 4） 模糊性數(shù)學(xué)模型 。它描述一類內(nèi)涵和外延都沒有明確邊界的模糊事物或現(xiàn)象。所用的工具是模糊數(shù)學(xué)。 當(dāng)然，由于現(xiàn)實(shí)世界關(guān)系的復(fù)雜性和多樣性，有些數(shù)學(xué)模型也可能是兼有幾類特性的混合型數(shù)學(xué)模型。 數(shù)學(xué)模型具有以下性質(zhì)： （ 1）能通過數(shù)學(xué)模型對(duì)所研究的問題進(jìn)行理論分析，邏輯推導(dǎo)并能得出明確的解。 （ 2）數(shù)學(xué)模型的解能回到具體研究中解決實(shí)際問題，能為人們提供更多的信息，推出未知的事實(shí)，作出預(yù)言。 （ 3）數(shù)學(xué)模型作為科學(xué)抽象的結(jié)果，應(yīng)在不同程度上，抓住支配現(xiàn)象的最基本的東西，能使人們對(duì)原系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)更加容易，能起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用。 2．?dāng)?shù)學(xué)模型法 數(shù)學(xué)模型法是將所考察的實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)數(shù)學(xué)模型研究結(jié)果的解釋，使實(shí)際問題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題是通過數(shù)學(xué)模型這個(gè)橋梁來(lái)實(shí)現(xiàn)的。 運(yùn)用數(shù)學(xué)模型法解決實(shí)際問題的大致步驟是： （ 1）分析實(shí)際問題，忽略某些次要因素，作必要的簡(jiǎn)化和近似，構(gòu)成現(xiàn)實(shí)模型； （ 2）將所得的現(xiàn)實(shí)模型用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述，抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型； （ 3）運(yùn)用和研究數(shù)學(xué)理論，對(duì)所得的數(shù)學(xué)模型求解； （ 4）將所得的數(shù)學(xué)解答返回到實(shí)際問題進(jìn)行解釋、檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)，形成對(duì)實(shí)際問題的判斷或預(yù)見。 3．?dāng)?shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)建模是建立數(shù)學(xué)模型的過程的縮略表示，是運(yùn)用數(shù)學(xué)模型法的重要環(huán)節(jié)，是對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行科學(xué)的分析、簡(jiǎn)化、抽象的過程。數(shù)學(xué)建模的主要過程可用如下框圖來(lái)說(shuō)明： 數(shù)學(xué)建模就是上述框圖（流程圖）的多次循環(huán)執(zhí)行不斷修正、發(fā)展的過程。值得注意的是：初步的數(shù)學(xué)模型建立以后，要根據(jù)精確性和簡(jiǎn)單性統(tǒng)一原則，選用最簡(jiǎn)單、最容易得到結(jié)果而又最能反映對(duì)象特征的模型。如果模型不能得出確定的結(jié)果，有時(shí)需要補(bǔ)充一些實(shí)際條件，例如建立的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)微分方程，往往需要考慮問題的初始條件與邊 界條件；如果模型太復(fù)雜，參數(shù)太多，無(wú)法確定結(jié)果或所得的模型難以求解，就要設(shè)法簡(jiǎn)化這個(gè)模型；如果模型的求解結(jié)果與實(shí)際測(cè)得的數(shù)據(jù)或常識(shí)的預(yù)測(cè)差距過大，就要設(shè)法修改參數(shù)或重新考慮被忽略的某些因素，經(jīng)過反復(fù)修改，使建立的數(shù)學(xué)模型能比較準(zhǔn)確地（在允許的誤差范圍內(nèi)）反映實(shí)際情況。 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)模型法是兩個(gè)不同的概念，前者側(cè)重于一種活動(dòng)、一個(gè)過程，后者側(cè)重于一種數(shù)學(xué)方法。 二、世界各國(guó)開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)具體做法 早在 70 年代，西方不少發(fā)達(dá)國(guó)家的一些有識(shí)之士已經(jīng)開始研究在中學(xué)開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的可能性，各種案 例相繼出現(xiàn)。進(jìn)入 80 年代，數(shù)學(xué)建模已成為國(guó)際數(shù)學(xué)教育改革的主旋律，世界各國(guó)的課程標(biāo)準(zhǔn)也都要求在各年級(jí)水平或多或少地含有數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，具體做法主要有以下幾種： （ 1） 兩分法 。數(shù)學(xué)課程方案由兩部分構(gòu)成，前一部分主要處理純數(shù)學(xué)內(nèi)容；后一部分處理的與前一部分純數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)的應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模，它有時(shí)是現(xiàn)成模型結(jié)果的應(yīng)用，有時(shí)是整個(gè)建模過程。著做法可表示為：純數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)→數(shù)學(xué)應(yīng)用和建模。 （ 2） 多分法 。整個(gè)教學(xué)由很多小單元組成，每個(gè)單元的做法類似于“兩分法”。 （ 3） 混合法 。在這種做法里，新的 數(shù)學(xué)概念和理論的形成與數(shù)學(xué)建模活動(dòng)被設(shè)計(jì)在一起互相作用。這種做法可表示為：?jiǎn)栴}情景的呈現(xiàn)→數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)→問題情景的解決→新的問題情景的呈現(xiàn)→??。 （ 4） 深程內(nèi)并入法 。在這種做法里，一個(gè)問題首先被呈現(xiàn)，隨后與這問題有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容被探索和發(fā)展，直至問題被解決。 （ 5） 深程間并入法 。由于所呈現(xiàn)的問題未必都能單獨(dú)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決，可能需用其他科知識(shí)，即“跨學(xué)科設(shè)計(jì)教學(xué)法”。 三、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)設(shè)計(jì) 1．中學(xué)數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)設(shè)計(jì)目標(biāo) ①樹立面向新世紀(jì)數(shù)學(xué)觀（數(shù)學(xué)是工具、技 術(shù)、文化）。體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。 ②增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，學(xué)會(huì)團(tuán)結(jié)合作，提高分析和解決實(shí)際問題的能力。 ③知道數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力。 2．中學(xué)數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)設(shè)計(jì)原則 數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)設(shè)計(jì)應(yīng)反映數(shù)學(xué)教育發(fā)展、改革的方向，具體說(shuō)來(lái)它更應(yīng)強(qiáng)調(diào)以下原則： （ 1）著重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，特別是數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力，這不僅包括計(jì)算、推理、空間想象，還應(yīng)包括辨明關(guān)系、形式轉(zhuǎn)化、駕馭計(jì)算工具、查閱文獻(xiàn)、能進(jìn)行口頭和書面的分析和交流。 （ 2）強(qiáng)調(diào)計(jì)算工 具（計(jì)算器、計(jì)算機(jī)）使用，這不僅指在計(jì)算過程中使用計(jì)算工具，而且還指在猜想、爭(zhēng)辯、探索、發(fā)現(xiàn)、模擬、證明、作圖、檢驗(yàn)中使用計(jì)算工具。 （ 3）更強(qiáng)調(diào)學(xué)生積極主動(dòng)地參與，把教學(xué)過程更自覺地變成學(xué)生活動(dòng)的過程。教師不應(yīng)只是“講演者”、“總是正確的指導(dǎo)者”，而應(yīng)不時(shí)扮演下列角色：模特――他不僅演示正確的開始，也表現(xiàn)失誤的開端和“撥亂反正”的思維技能；參謀――提一些求解的建議，提供可參考的信息但并不代替學(xué)生做出決斷；詢問者――故作不知，問原因、找漏洞，督促學(xué)生弄清楚、說(shuō)明白，完成進(jìn)度；仲裁者和鑒賞者――評(píng)判學(xué) 生工作及成果的價(jià)值、意義優(yōu)劣，鼓勵(lì)學(xué)生有創(chuàng)造性的想法和做法。 3．中學(xué)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)設(shè)計(jì)要求 在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)時(shí)，應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)： （ 1）數(shù)學(xué)建模對(duì)教師、學(xué)生都有一個(gè)逐步的學(xué)習(xí)和適應(yīng)的過程，在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)時(shí)，特別應(yīng)考慮學(xué)生實(shí)際能力和水平，起始點(diǎn)要低，要給學(xué)生留有充分思考的余地，形式應(yīng)有利于更多的學(xué)生能參與。比如在低年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以在講解知識(shí)的同時(shí)有意識(shí)地介紹知識(shí)的應(yīng)用背景，在應(yīng)用的重點(diǎn)