電大微積分初步考試小抄[最新完整版小抄(已修改)
2025-06-21 19:13 本頁面
【正文】 電大微積分初步考試小抄 一、填空題 ⒈ 函數(shù)xxf ?? 51)(的定義域是 （－∞， 5） ． 5－ x ＞ 0 → x ＜ 5 ⒉ ??? xxx1sinlim 1 ． 1s inlim ??? x xx ， 01 ??? xx 時(shí)， ⒊ 已知 xxf 2)( ? ，則 )(xf? = 2ln22 ）（x ． ⒋ 若 ? ?? cxFxxf )(d)( ，則? ?? xxf d)32( CxF ?? )32(21 ． ⒌ 微分方程 yxxyyx ??????? es in)( 4 的階數(shù)是 三階 ． ∵ y? )2ln( 1)( ?? xxf的定義域是 （ 2， 1） U（ 1，∞ ) ? ? ? ? ? ?1221ln)2(ln2x02ln02 ????????? xxxxx ，＞，＞，＞ ∴ ? ?1 2x| ?且＞x 7. ?? xxx2sinlim0 2 ． 211212 2s inlim2s inlim 00 ??? ?? x xx x xx 21:22 2sinlim0 ??? xxx y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，則 y? (0) = 6 y=x(x1)(x2)(x3)=(x2x)(x25x+6)=x45x3+6x2x3+5x26x =x46x3+11x26x , 622184y 23x ????? xx ?（把0帶入 X） ,6)0( ????y 9. ?? ? xx ded 2 dxxe? 2 )()( xfdxxf ??? ）（ 或 dxxfdxxfd )())(( ?? 1)0(, ??? yyy 的特解為 y=ex . yy?? ydxdy? ?? ??? dxdydxydy y1兩邊積分 e cxy ??? 又 y(0)=1 (x=0 , y=1) cxy ???ln 01 0 ??? ? ce c， 24)2ln( 1)( xxxf ????的定義域是? ? ? ?2,112 ?， ??????????????????????????????????????122122x21ln)2l n (22x20)2(ln0204 2xxxxxxxx＜＜＞＞ ?????????0,0,13s in)(xkxxxxf ,在 0?x 處連續(xù)，則 ?k 1 ． )()(lim 00 xxfxfx ?? ( )(xf 在 x0 處連續(xù) ) ∵kf ?)0( 113s i n0l i m)13s i n(0l i m???????? xxxxxx （無窮小量x有界函數(shù)） xy? 在點(diǎn) )1,1( 處的切線方程是2121y ?? x xxy 21?? ， xy 2121 ??? 切ky ????? 211x| 2121y)1(211y ???????? xx方程 14. ??? xxs d)in( sin x+c xyyxy s in4)( 53 ??????? 的階數(shù)為 三階 )2ln()( ?? xxxf的定義域是 （ 2,3） U（ 3，∞） ? ?3x2x|122)2l n (20)2l n (02????????????????????且＞＞＞＞xxxnxxxx 17. ??? xxx 2sinlim 1/2 知 xxxf 3)( 3 ?? ，則 )3(f? = 27+27ln3 3ln3)( 32 xxxf ??? 3ln2727)3( ???? f 19.? 2dex = ex2+c xyxyy s in4)( 7)4(3 ???? 的階數(shù)為 四階 二、單項(xiàng)選擇題 ⒈ 設(shè)函數(shù) 2 ee xxy ?? ? ，則該函數(shù)是 （ 偶函數(shù) ） ． ∵所以是偶函數(shù))(2 ee)( xfxf xx ???? ?⒉ 函數(shù)23 3)( 2 ?? ?? xx xxf 的間斷點(diǎn)是 （ 2,1 ?? xx ） 分母無意義的點(diǎn)是間斷點(diǎn)∴ 2,1,0232 ????? xxxx ⒊ 下列結(jié)論中 （ )(xf 在 0xx? 處不連續(xù)，則一定在 0x處不可導(dǎo) ）正確． 可導(dǎo)必連續(xù)，伹連續(xù)并一定可導(dǎo)；極值點(diǎn)可能在駐點(diǎn)上，也可能在使導(dǎo)數(shù)無意義的點(diǎn)上 ⒋ 如果等式 ? ??? cxxf xx 11 ede)( ，則 ?)(xf（ 21x ） )()1()()(,1u)(),()(,)()(111??????????????????????????xexeeeyxexfxFCxFdxxfuuxux ，令? 22112121)()()(xxfxeexfxexexxxu??????????? ⒌ 下列微分方程中， （ xyxyy sin??? ） 是線性微分方程． 2ee xxy ??? ，則該函數(shù)是 （奇函數(shù)） ． ?k （ 2 ） 時(shí)，函數(shù)??? ???? 0, 0,2)( 2 xk xxxf 在0?x 處連續(xù) . 上單調(diào)減少的是 （ x?3 ） ． （ 3ln3dd3 xx x? ） （ yxyxy ??dd） 1)1( 2 ??? xxf ，則 ?)(xf （ )2( ?xx ） f (x)在點(diǎn) x0處可導(dǎo)，則 ( Axfx x ?? )(lim 0，但 )( 0xfA? )是錯(cuò)誤的． 2)1( ?? xy 在區(qū)間 )2,2(? 是 （先減后增） 14. ???? xxfx d)( ( cxfxfx ??? )()( ） （ yxyxy ??dd ） （ )1ln( 2xx ?? ） ?k （ 2 ） 時(shí)，函數(shù)??? ???? 0, 0,1e)( xk xxf x 在0?x 處連續(xù) . 12 ??xy 在區(qū)間 )2,2(? 是 （先單調(diào)下降再單調(diào)上升） 2x的積分曲線族中，通過點(diǎn)（ 1, 4）的曲線為 （ y = x2 + 3） ． 1)0(, ??? yyy 的特解為 （ xy e? ） ． 三、計(jì)算題 ⒈計(jì)算極限 4 23lim222 ???? xxxx． 解 :41)2( )1(l i m2 )2(1(l i m 22 ????? ?? ?? xxx xx xx ） ⒉設(shè) xxy x ?? ?2e ，求 yd . 解： xexe xx 23221x2 ???? ? ey x21 ?? ey u?1 ， u= 2x )(11 ey u? ′ (2x)′ =eu（ 2） = 2 e2x ∴ y′ = 2e2x+ x2123 ∴ dy=(2 e2x+ x2123)dx ⒊計(jì)算不定積分 xxxdsin? 解：令 u= x21x? ,u′ =xx 2121 21 ?? ∴ dxxdu 21? ∴ ? usin 2du= ? udusin2 =2(cos)+c = 2cos c?x ⒋計(jì)算定積分 xx xde210? u=x， v′ =ex,v= ex ∴ ?10uv′ dx=uv xvdu 1010| ?? 1)( 01010101010|||??????????? ??eeeeeeeexdxxdxxxxxxx ∴原式 =2 9152lim 223 ???? x xxx 34353lim)3)(3( )3)(5(3lim ??????? ??? xxxxx xxx xxxy cosln?? ，求 yd 解： xxxy xx c oslnc osln 2321 ????? y1=lncosx y1=lnu1,u=cosx ∴xxxuxuyc o ss in)s in(1)(c o s)(ln11????????? y1=xxx cossin23 21 ? ∴ dy=( xxx cossin23 21 ? )dx xx d)21( 9? ? 解： dxx? ? )21( 9 令 u=12x , u′ = 2 ∴ dudxxdu 212 ????? ccduduxuuu???????????????20212121)21()21( 101099? xx xde10? ? 解： u=x, ee xx vv ? ?? ??? ， )()(101101010 |xddxxdxxeeeeexxxx????????????????? = 1)11(1|101 ????? ?? eeee x 45 86lim224 ????? xxxxx 3212l im)4)(1( )4)(2(l im 44 ?????? ?? ?? xxxx xx xx xy x 3sin2 ?? ，求 yd y1=sin3x y1=sinu , u=3x , xy 3c os3x3s inu1 ?????? ）（）（ ∴ y′ =2xln2+3cos3x ∴ dy=(2xln2+3cos3x)dx xxx dcos? ? xdxxcos u=x , v′ =cosx , v=sinx ?? ???????cxxxx d xxxx d xx)c o s(s i ns i ns i nc o s xx xdln51e1? ? ?????????eeeedxxxdxxxxdxxxdxx11e111ln51ln5lnln1|令 u=lnx, u′ =x1 , du=x1 dx , 1≤ x≤ e 0≤ lnx≤ 1 ∴ 2121ln |102101 ??? ?? uududxx xe ∴原式 =1+5 21 =27 623lim222 ????? xxxxx 解：5131lim)2)(3x( )1)(2(lim 22 ?????? ?? ?? xxxxx xx xxy 12e? ，求 y? 解： ex xy 12 ?? ( ey x11?) , ey u?1 , xu 1? , xexeey xuu x 21211 )1()1()( ????????? ) eexexeexexx1x12x12x1x12x122)(2)()(y??????????????xx xx d)12( 10? ? 解： dxx? ? )12( 10 u=2x1 ,d? =2 du=2dx ∴cdududxuuux?????????? ?1121212111101010)12( cx ?? ? ）（ 12 1121 ?10 de xx x 解： dxx ex? ?10 u=x , exv?? , exv? 1)1(101010 |???? ??? ?? ee dxxdxx eeexxx 四、應(yīng)用題（本題 16分） 用鋼板焊接一個(gè)容積為 4 3m 的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方米 10元，焊接費(fèi) 40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費(fèi)最低？最低總費(fèi)是多少？ 解：設(shè)水箱的底邊長為 x，高為 h,表面積為 s，且有h=x24 所以 S(x)=x2+4xh=x2+x16? xxS 2162 ??? 令 S? （ x） =0，得 x=2 因?yàn)楸締栴}存在最小 值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯一，所以 x=2，h=1時(shí)水箱的表面積最小。 此時(shí)的費(fèi)用為 S（ 2） 10+40=160元 欲用圍墻圍成面積為 216平方米的一塊矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬各選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 設(shè)長方形一邊長為 x，∵ S=2
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