數(shù)值計算方法第4章(已修改)
2025-05-31 00:07 本頁面
【正文】 4 . 2 . 2 N e w to n 插值公式 由差商定義 0 00( ) ( ) [ , ]f x f x f x xxx? ?? 0 0 0( ) ( ) ( ) [ , ]f x f x x x f x x? ? ? ? ( 1) 0 0 1 011[ , ] [ , ] [ , , ]f x x f x x f x x xxx? ?? 0 0 1 1 0 1[ , ] [ , ] ( ) [ , , ]f x x f x x x x f x x x? ? ? ? ( 2 ) )4(],[)(],[],[],[],[],[)3(],[))((],[)()()(1)2(210221010210221010210101000xxxxfxxxxxfxxxfxxxxfxxxxxfxxxfxxxxfxxxxxxfxxxfxf????????????得，則點為了提高精度，增加節(jié)）式得：式代入（上有一般的，在節(jié)點）式得：式代入（nxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf, .. .,],[))()((],[))((],[)()()(3)4(21021021010101000??????????插值公式和余項。上的在節(jié)點分別為、其中 N e w t o n}{)()()()()(], . . .,[))() . . . ()((], . . .,[)) . . . ()((. . .],[))((],[)()()(010110110110210101000ninnnnnnnnnxxfxRxNxRxNxxxxfxxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf?????????????????????)()()()()(],[)()(}],[],[)(],[){()(]},[)(],[){()()()()()()()(],[)()()()()(20202020020201210021210020210121002021010101010010100xfxxxfxfxxxfxxfxxxfxxxxfxxfxxxxfxxxfxxxfxxxxfxxxfxNxfxxxfxfxxxfxxfxxxfxNxfxNnnn???????????????????????????????可以驗證：。的最大值與最小值之間介于其中，故有差商與導數(shù)的關系即：因此他們的余式也相等由插值的唯一性知：類似地可以證明nnnnnniinxxxxnfxxxxfxnfxxxxfxxLxNnixfxN, . . .,)!1)(], . . .,[)()!1)(], . . .,[)(),()(), . . .2,1,0()()(10)1(10)1(10??????????????重點插商 為重點插商。為使用方便，我們規(guī)定], .. .,[], .. .,[], .. .,[], .. .,[], .. .,[101010010010l i ml i mnnnhnhnxxxxfdxdhxxxxfxxxhxfxxxxhxfxxxxxf????????Newton插值計算 插商表 1 一階插商 二階插商 三階插商 單元號 F(0) F(1) F(2) F(3) … … … …… ……… F(n) )( kxf)( 0xf)( 1xfkx0x1x2x3x)( 2xf)( 3xf],[ 10 xxf],[ 20 xxf],[ 30 xxf],[ 210 xxxf],[ 310 xxxf ],[3210 xxxxfnx)( nxf ],[ 0 nxxf ],[ 10 nxxxf ],[210 nxxxxf插商表 2 kx )( kxf 一階差商 二階差商 三階差商 n 階差商 單 元 號 0x )( 0xf F (0) 1x )( 1xf 01[ , ]f x x F (1) 2x )( 2xf 12[ , ]f x x 0 1 2[ , , ]f x x x F (2) 3x )( 3xf 23[ , ]f x x 1 2 3[ , , ]f x x x F (3) nx )( nxf 1[ , ]nnf x x? 21[ , , ]n n nf x x x?? 3 2 1[ , , , ]n n n nf x x x x? ? ? 01[ , , , ]nf x x x??? F (n) 求 Nn(x) ? 插商表 1計算簡單，好實現(xiàn)，但數(shù)值不穩(wěn)定。 ? 插商表 2在計算機上穩(wěn)定性好，但算法復雜。 ? 計算 Nn(x)常采用秦九韶程序（取 n=4） 4 0 0 0 1 0 1 0 1 2( ) ( ) ( ) [ , ] ( ) ( ) [ ,
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