經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型(3)(已修改)
2025-05-30 23:26 本頁面
【正文】 第三章 經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：多元回歸 ? 多元線性回歸模型 ? 多元線性回歸模型的參數(shù)估計 ? 多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 ? 多元線性回歸模型的預(yù)測 ? 回歸模型的其他形式 ? 回歸模型的參數(shù)約束 167。 多元線性回歸模型 一、多元線性回歸模型 二、多元線性回歸模型的基本假定 一、多元線性回歸模型 多元線性回歸模型 :表現(xiàn)在線性回歸模型中的解釋變量有多個。 一般表現(xiàn)形式 ： ikikiii XXXY ????? ????????? 22110i=1,2…,n 其中 :k為解釋變量的數(shù)目， ?j稱為 回歸參數(shù)（ regression coefficient）。 習(xí)慣上 ：把 常數(shù)項 看成為一 虛變量 的系數(shù) ， 該虛變量的樣本觀測值始終取 1。 這樣： 模型中解釋變量的數(shù)目為 （ k+1） ikikiii XXXY ????? ????????? 22110也被稱為 總體回歸函數(shù) 的 隨機(jī)表達(dá)形式 。 它 的非隨機(jī)表達(dá)式 為 : kikiikiiii XXXXXXYE ???? ???????? 2211021 ),|( ? 方程表示： 各變量 X值固定時 Y的平均響應(yīng) 。 ?j也被稱為 偏回歸系數(shù) ， 表示在其他解釋變量保持不變的情況下 ， Xj每變化 1個單位時 ， Y的均值 E(Y)的變化 。 或者說 ?j給出了 Xj的單位變化對 Y均值的 “ 直接 ” 或 “ 凈 ” （ 不含其他變量 ） 影響 。 總體回歸模型 n個隨機(jī)方程的 矩陣表達(dá)式 為 μX βY ??其中 )1(212221212111111???????????????knknnnkkXXXXXXXXX???????X1)1(210???????????????????kk?????β121??????????????nn????μ樣本回歸函數(shù) ：用來估計總體回歸函數(shù) kikiiii XXXY ???? ????? 22110 ????? ?其 隨機(jī)表示式 : ikikiiii eXXXY ?????? ???? ???? 22110 ? ei稱為 殘差 或 剩余項 (residuals)，可看成是總體回歸函數(shù)中隨機(jī)擾動項 ?i的近似替代。 樣本回歸函數(shù) 的 矩陣表達(dá) : βXY ?? ? 或 eβXY ?? ?其中： ???????????????k??????? 10?β???????????????neee?21e二、多元線性回歸模型的基本假定 假設(shè) 1，解釋變量是非隨機(jī)的或固定的，且各X之間互不相關(guān)（無多重共線性）。 假設(shè) 2，隨機(jī)誤差項具有零均值、同方差及不序列相關(guān)性 0)( ?iE ?22 )()( ??? ?? ii EV a r0)(),( ?? jiji EC o v ????njiji ,2,1, ??? 假設(shè) 3，解釋變量與隨機(jī)項不相關(guān) 0),( ?ijiXC o v ?假設(shè) 4，隨機(jī)項滿足正態(tài)分布 ),0(~ 2?? Nikj ,2,1 ??上述假設(shè)的 矩陣符號表示 式： 假設(shè) 1， n?(k+1)矩陣 X是非隨機(jī)的，且 X的秩 ?=k+1，即 X滿秩。 假設(shè) 2， 0)()()(11???????????????????????nn EEEE??????μ? ??????????????????????? nnEE ?????? 11)( μμ???????????21121nnnE???????????I22211100)v ar (),co v (),co v ()v ar (??????????????????????????????????????????nnn假設(shè) 3， E(X’?)=0，即 0)()()(11 ????????????????????????????????????iKiiiiiKiiiiEXEXEXXE????????假設(shè) 4，向量 ? 有一多維正態(tài)分布，即 ),(~ 2 I0μ ?N 同一元回歸一樣，多元回歸還具有如下兩個重要假設(shè)： 假設(shè) 5， 樣本容量趨于無窮時，各解釋變量的方差趨于有界常數(shù)，即 n?∞ 時， jjjiji QXXnxn ??? ?? 22 )(11 或 Qxx ??n1 其中： Q為一非奇異固定矩陣，矩陣 x是由各解釋變量的離差為元素組成的 n?k階矩陣 ???????????knnkxxxx?????1111x假設(shè) 6，回歸模型的設(shè)定是正確的。 167。 多元線性回歸模型的估計 估計方法： OLS、 ML或者 MM 一、普通最小二乘估計 *二、最大或然估計 *三、矩估計 四、參數(shù)估計量的性質(zhì) 五、樣本容量問題 六、估計實例 一、普通最小二乘估計 對于隨機(jī)抽取的 n組觀測值 kjniXY jii ?? ,2,1,0,2,1),( ??如果 樣本函數(shù) 的參數(shù)估計值已經(jīng)得到，則有： Kikiiii XXXY ???? ????? 22110 ????? ?i=1,2…n 根據(jù) 最小二乘原理 ，參數(shù)估計值應(yīng)該是下列方程組的解 ?????????????????0?0?0?0?210k?????????????其中 2112 )?(??????? ni iini iYYeQ21 22110))????((???????? ni kikiiiXXXY ???? ?于是得到關(guān)于待估參數(shù)估計值的 正規(guī)方程組 ： ?????????????????????????????????????kiikikikiiiiikikiiiiiikikiiikikiiXYXXXXXYXXXXXYXXXXYXXX)????()????()????()????(221102222110112211022110????????????????????? 解該 （ k + 1 ）個方程組成的線性代數(shù)方程組，即可得到(k + 1 ) 個待估參數(shù)的估計值 ? , , , , ,? j j k? 0 1 2 ? 。正規(guī)方程組 的 矩陣形式 ?????????????????????????????????????????????????????????????????nknkknkkiikikikiiiikiiYYYXXXXXXXXXXXXXXXXn????????????????212111211102112111 111??????即 YXβX)X( ??? ?由于 X’X滿秩，故有 YXXXβ ??? ? 1)(?將上述過程用 矩陣表示 如下： 即求解方程組： 0)?()?(? ???? βXYβXYβ??0)????(? ???????????? βXXββXYYXβYYβ0)???2(? ????????? βXXββXYYYβ0? ????? βXXYX得到： YXXXβ ??? ? 1)(?βXXYX ????于是： 例 ： 在 例 家庭收入 消費支出 例中， ????????????????????????????????????????????53650000215002150010111111)( 22121 iiinn XXXnXXXXXX ????XX 39。????????????????????????????????????????????3 9 4 6 8 4 0 01 5 6 7 4111 2121 iiinn YXYYYYXXX ???YX可求得 ????????????? ?)( 1EXX于是 ?????????????????????????? ?????????????3964840015674???21E??β?正規(guī)方程組 的另一種寫法 對于 正規(guī)方程組 βXXYX ????βXXeXβXX ?? ?????于是 0eX ??或 ?? 0ie0??i ijieX(*)或（ **）是多元線性回歸模型 正規(guī)方程組 的另一種寫法 (*) (**) ?樣本回歸函數(shù)的離差形式 ikikiii exxxy ????? ??? ??? 2211 ?i=1,2…n 其 矩陣形式 為 eβxy ?? ?其中 ： ???????????????nyyy?21y???????????????knnnkkxxxxxxxxx???????212221212111x???????????????k??????? 21?β在離差形式下，參數(shù)的最小二乘估計結(jié)果為 Yxxxβ ??? ? 1)(?kk XXY ??? ??? 110 ???? ??隨機(jī)誤差項 ?的方差 ?的無偏估計 可以證明，隨機(jī)誤差項 ?的方差的無偏估計量為 11?22????????knkne i ee? *二、最大或然估計 對于多元線性回歸模型 ikikiii XXXY ?????
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