【正文】 《 計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型與經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè) 》 福州大學(xué)管理學(xué)院 林筱文教授編 一、線性回歸模型 ? 最小二方程原理和參數(shù)估計(jì) ?=a+bx y Q=∑(y ?) → 最小 =∑(yabx)2 → 最小 ? 對(duì) a和 b求一階微分 2Q/2A=2 ∑(yabx)(a)=0 2Q/2B= 2 ∑(yabx)(bx)=0 x 得 : ∑ynab ∑x=0 → ∑y=na+b∑x=0 ∑xya∑xb∑x2=0 ∑xy=a∑x+b∑x2=0 得： a= ∑y/nb (∑y/n) b= [∑xy (∑x) (∑y) /n]/ ∑x2(∑x)2=Lxy/Lxx 回歸系數(shù) b說明當(dāng) x變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)， y平均變動(dòng)一個(gè) b的值 ? 回歸誤差估計(jì)和相關(guān)系數(shù) 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差： Sy= ∑(y ?)2/(n2) = (∑y2a ∑yb ∑xy)/n2 相關(guān)系數(shù)： R=Lxy/ LxxLyy Lxy= ∑xy (∑x ∑y)/n Lxx= ∑x2(∑x)2/n Lyy= ∑y2 (∑y)2/n ● 線性回歸模型預(yù)測(cè) 當(dāng)計(jì)算回歸模型由大樣本計(jì)算時(shí)（ n30)，其預(yù)測(cè)區(qū)間的誤差分布服從正態(tài)分布，則預(yù)測(cè)區(qū)間為： ?0=(a+bx0) 177。 (Z2/2) Sy 當(dāng)計(jì)算回歸模型由小樣本計(jì)算時(shí)（ n30),其預(yù)測(cè)區(qū)間的誤差分布服從七分布，則預(yù)測(cè)區(qū)間為： ?0 =（ a+ bx0) 177。 (Ta/2) Sy 1+1/n+[(X0X)2/ ∑(XX)2] ? 例： 建筑面積 (萬 m2)x 建造成本 (萬元 )y x2 y2 xy ? y ? (y ?)2 4 16 2 4 3 9 5 25 4 16 5 25 ∑ 23 95 _____ ? 解： b＝［ － 1/6(23)()]/[951/6(23)2]= a＝ － (23/6)= 待線性回歸方程： ?＝ + 即建筑面程每增加一萬 m2，建造成本要平均增加 Sy= ∑(y ?)2/(n2)= (62)= r=Lxy/ LxxLyy = (∑xy ∑x ∑y/n)/ [∑x2(∑x)2/n][∑y2(∑y)2/n] = 預(yù)測(cè)：假設(shè) x0=， y0=+=(萬元），當(dāng)n=630時(shí)，查七分布表 ta/2(n2)=t()(4) ta/2(n2) Sy 1+1/n+(x0x)2/ ∑ (xx)2= 所以建造成本的區(qū)間預(yù)測(cè)在顯著性水平為 a=5%，即以 95%的概率計(jì)算 y0=177。，即在 [—]萬元之間 二、非線性回歸模型 —曲線回歸模型 在對(duì)客觀現(xiàn)象選擇回歸模型時(shí)，應(yīng)注意： 回歸方程的形式應(yīng)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本理論相一致，應(yīng)該在定性分析和定量分析的基礎(chǔ)上選擇適當(dāng)?shù)幕貧w模型 回歸方程與實(shí)際現(xiàn)象的變量值應(yīng)要有較高的擬合程度，能較好地反映經(jīng)濟(jì)實(shí)際運(yùn)行趨勢(shì) 在對(duì)方程的模型一時(shí)無法判斷時(shí)，可先畫散點(diǎn)圖，觀察現(xiàn)象實(shí)際值的變動(dòng)趨勢(shì)，來選擇相應(yīng)的擬合回歸模型。或者多選擇幾個(gè)回歸模型，加以擬合，分別計(jì)算估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差，選擇估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差最小的那個(gè)回歸模型 回歸模型的數(shù)學(xué)形式要盡可能簡(jiǎn)單，一般說來，數(shù)字型式越簡(jiǎn)單，則基回歸模型的可操作性越強(qiáng)。過于復(fù)雜的回歸模型的數(shù)學(xué)形式在實(shí)際經(jīng)濟(jì)分析和經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中，其實(shí)際應(yīng)用價(jià)值不大 拋物線方程： ?=a+bx+cx2 根據(jù)最小二乘法原理，求該方程待定 a、 b、 c參數(shù)的方程組如下： ∑y=na+b ∑x+c ∑x2 y ∑xy=a ∑x+b ∑x2+c ∑x3 ∑x2y=a ∑x2+b ∑x3+C ∑x4 x 判定某變量趨勢(shì)是否符合拋物線議程時(shí)，可利用差分法： 當(dāng) X以一個(gè)常數(shù)變化時(shí)， Y的一階差分即 △ Y=YtYt1的絕對(duì)值也接近一個(gè)常數(shù)時(shí)，該變量的變化可用直線方程來擬合。 當(dāng) X從一個(gè)常數(shù)變化時(shí)， Y的二階差分即△ Y2t= △ Yt △ Yt1的絕對(duì)值接近一個(gè)常數(shù)時(shí)，該變量的變化可用拋物線方程來擬合。 ● 拋物線方程 ● 指數(shù)曲線方程 ? 該方程常用于擬合某變量值的環(huán)比，即 Yt/Yt1的絕對(duì)值近似于一個(gè)常數(shù)時(shí)，就可用指數(shù)曲線方程來擬合。 ?=abx 對(duì)方程兩邊求對(duì)數(shù)： lgy=lga+lgb x 換元令 lgy=Y lga=A lgb=B 得： Y=A+Bx，化成直線方程的形式，求出 A、 B的參數(shù)值，再分別求反對(duì)數(shù)，就可求出 a、 b的參數(shù)值， 指數(shù)曲線因 a、 b的取值不同而表現(xiàn)出不同的變化形式： x x x x y y y y ● 對(duì)數(shù)函數(shù)曲線 ?=a+blnx,令 x’=lnx， 把方程變成直線方程的形式，求出a、 b的參數(shù)值。 對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)是隨著 x的增大， x的單位變動(dòng)對(duì) Y的影響效果遞減。 ● S函數(shù)曲線（邏輯曲線） ? =1/a+bex y 換元令 y’=1/y, x’=ex 得 y’=a+bx’化成直線方程的形式 p 可求出 a、 b的參考值。該方程的 特點(diǎn)是某變量剛開始時(shí)，隨著 X x 的增加， y的增長速度逐漸增加， I II III IV 當(dāng) y達(dá)到一定水平時(shí)，其增長速度又放慢，最后超近于 一條漸近線。該方程經(jīng)常用來描述某消費(fèi)品的生命周期的變化，可將其分為四個(gè)階段，即緩慢增長 → 快速增長 → 增速放慢 → 相對(duì)飽和p為一拐點(diǎn)。 三、多元回歸模型 ?模型與參數(shù)估計(jì) ? =a+bx1+cx2+dx3+…….. 多元回歸就是分析在多個(gè)自變量（ x)與因變量（ y)相互關(guān)系的基礎(chǔ)上，確定一個(gè)多元回歸模型，然后根據(jù)各個(gè)自變量的變動(dòng)來估計(jì)或預(yù)測(cè)因變量的變動(dòng)程度。 根據(jù)最小二乘法原理，以二元回歸方程為例，說明求其參數(shù)的方法： ?=a+ bx1+cx2 ∑y=na+b∑x1+c∑x2 ∑x1y= a∑x1 +b∑x12 +c∑ x1 x2 ∑x2y= a∑x2 +b∑ x1 x2 +c∑x22 例：根據(jù)下表計(jì)算二元回歸方程 利潤額 y 銷售額 x1 流通費(fèi)用 x2 X1y X2y X1x2 X12 X22 ? 124 500 350 620xx 43400 175000 250000 122500 142 480 315 68160 44730 151200 230400 99225 132 520 360 68640 47520 187200 270400 129600 134 515 355 69010 47570 182825 265225 126025 147 525 351 77175 51597 184275 275625 123201 140 532 367 74480 51384 195244 283024 134698 149 550 374 81950 55726 205700 302500 139876 ∑ 968 3622 2472 501415 341923 1281444 1877174 875116 將上述有關(guān)數(shù)字代入二元回歸的方程組： 986=7a+3622b+2472c 501415=3622a+1877174b+1281444c 341923=2472a+1281444b875116c 得： a= b= c= 二元回歸方程： ?=+ ● 多元回歸方程的矩陣形式 二元回歸方程的矩陣形式表現(xiàn)為： Y=XB 其中： y1 1 x21 … … x k1 b1 y2 1 x22 … … x k2 b2 Y= … X= … … … … … B= … yn 1 x2n … … x kn bn 按矩陣計(jì)算原理： Y=XB→X’Y’=X’XB →(X’X) 1 X’Y=(X’X)1(X’X)B →B=(X’X) 1X’Y 例：下表列出某商品銷售量（ Y）與居民人均收入（ x1）和單價(jià)（ x2）的有關(guān)資料。 ` 年 份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 銷售量 （ y百件） 10 10 15 13 14 20 18 24 19 23 居民人均收入（ x1百元） 5 7 8 9 9 10 10 12 13 15 單價(jià)（ x1十元） 2 3 2 5 4 3 4 3 5 4 上表中有關(guān)數(shù)據(jù)的矩陣表示為： 1 5 2