算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)(已修改)
2025-05-28 22:06 本頁面
【正文】 成才之路 數(shù)學(xué) 路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索 人教 A版 必修 5 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 5 第三章 不等式 第 三 章 不等式 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 5 第三章 不等式 3 ． 4 基本不等式 ab ≤a ＋ b2 第 三 章 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 5 第三章 不等式 第 三 章 第 1 課時 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 第三章 第 1課時 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 5 課前自主預(yù)習(xí) 思路方法技巧 名師辨誤作答 課后強(qiáng)化作業(yè) 課堂鞏固訓(xùn)練 第三章 第 1課時 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 5 課程目標(biāo)解讀 第三章 第 1課時 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 5 了解算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念，了解基本不等式的代數(shù)、幾何背景和基本不等式的證明，培養(yǎng)數(shù) 形結(jié)合的思想，初步運(yùn)用基本不等式求解簡單的最值問題． 第三章 第 1課時 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 5 課前自主預(yù)習(xí) 第三章 第 1課時 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 5 1 ．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)： 設(shè) a 、 b 是任意兩個正數(shù)，把 叫做正數(shù) a ， b 的算術(shù)平均數(shù)；把 叫做正數(shù) a ， b 的幾何平均數(shù)． a＋ b2 ab 第三章 第 1課時 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 5 2 ．觀察下圖， AB CD 與 EF GH 均為正方形，考察大正方形、小正方形面積和 4 個直角三角形面積的和，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 第三章 第 1課時 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 5 正方形 ABCD 的面積 a2＋ b2不小于四個直角三角形面積的和 2 ab 即 a2＋ b2≥ 2 ab .小正方形 EFG H 縮為一點(diǎn)時 a ＝ b ，此時a2＋ b2＝ 2 ab . 由此我們得到 重要不等式：對于任意實(shí)數(shù) a ， b ， a2＋ b2≥ 2 ab ，當(dāng)且僅當(dāng)a ＝ b 時，等號成立．你會證明嗎？ 第三章 第 1課時 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 5 證明如下： ∵ a2＋ b2－ 2 ab ＝ ( a － b )2，當(dāng) a ≠ b 時， ( a － b )2＞ 0 ；當(dāng) a ＝ b時， ( a － b )2＝ 0 ， ∴ a2＋ b2－ 2 ab ≥ 0 ，即 a2＋ b2≥ 2 ab ，當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b 時，等號成立． 第三章 第 1課時 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 5 3 ． ① 如果在重要不等式 a2＋ b2≥ 2 ab 中，令 x ＝ a2， y ＝ b2，可得 x ＋ y ≥ 2 xy ，由此我們可得 ② 基本不等式：如果 a ， b 是正數(shù)，那么 ab ≤a ＋ b2，當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b 時，等號成立．你會證明嗎？ 第三章 第 1課時 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 5 基本不等式的證明： 證法一： ∵ a ＋ b － 2 ab ＝ ( a )2＋ ( b )2－ 2 ab ＝ ( a －b )2≥ 0. ∴ a ＋ b － 2 ab ≥ 0 ，即 a ＋ b ≥ 2 ab . ∴a ＋ b2≥ ab . 第三章 第 1課時 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 5 證法二：分析法 ( 參見教材 98 頁 ) 要理順?biāo)拿恳徊襟E，把握 分析法證題過程． ③ 基本不等式的幾何解釋 —— 半徑不小于半弦． 以長為 a ＋ b 的線段 AB 為直徑作圓，在線段 AB 上取點(diǎn) C ，使 AC ＝ a ， CB ＝ b . 過點(diǎn) C 作垂直于直線 AB 的弦 DD ′ ，連結(jié)AD 、 DB ，如下圖，易證 Rt △ ACD ∽ Rt △ DCB ，那么 CD2＝ CA CB ，即 CD ＝ ab . 第三章 第 1課時 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 5 這個圓的半徑為a ＋ b2，顯然，它大于或等于 CD ，即a ＋ b2≥ ab ，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) C 與圓心重合，即 a ＝ b 時，等號成立 ． 第三章 第 1課時 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 5 4 ．極值定理 已知 x ， y 都為正數(shù)，則 (1) 若 x ＋ y ＝ s ( 和為定值 ) ，則當(dāng) x ＝ y ＝s2時，積 xy 取得最大值 ； (2) 若 xy ＝ p ( 積為定值 ) ，則當(dāng) x ＝ y ＝ p 時，和 x ＋ y 取得最小值 . s
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