主成分分析,多元回歸分析(已修改)
2025-05-27 17:54 本頁面
【正文】 第五章 主成分分析 什么是主成分分析 主成分分析 （ Principal Components Analysis） 也稱主分量分析 是將多個(gè)指標(biāo) ， 化為少數(shù)幾個(gè)不相關(guān)的 綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)方法 。 在綜合評價(jià)工業(yè)企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益中 ， 考核指標(biāo)有： 1每百元固定資產(chǎn)原值實(shí)現(xiàn)產(chǎn)值 、 2每百元固定資產(chǎn)原值實(shí)現(xiàn)利稅 、 3每百元資金實(shí)現(xiàn)利稅 、 4每百元工業(yè)總產(chǎn)值實(shí)現(xiàn)利稅 、 5每百元銷售收入實(shí)現(xiàn)利稅 、 6每噸標(biāo)準(zhǔn)煤實(shí)現(xiàn)工業(yè)產(chǎn)值 、 7每千瓦電力實(shí)現(xiàn)工業(yè)產(chǎn)值 、 8全員勞動(dòng)生產(chǎn)率 、 9每百元流動(dòng)資金實(shí)現(xiàn)的產(chǎn)值 指標(biāo)間信息有重疊 ， 指標(biāo)數(shù)量又多 。 經(jīng)過主成分分析計(jì)算 ， 最后確定選擇了 2個(gè)主成分作為綜合評價(jià)工業(yè)企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的依據(jù) ， 變量數(shù)由 9個(gè)減少到 2個(gè) ， 這兩個(gè)主成分代表的信息達(dá) %， 使所研究的問題簡化 。 第一節(jié) 主成分分析的 幾何意義 X1 X2 幾何意義 ： 為了直觀 ， 先在二維空間中討論主成分的幾何意義 。 設(shè)對每個(gè)樣品觀測兩個(gè)變量 X1和 X2的數(shù)據(jù)如下 X1 1 2 3 4 5 6 X2 2 4 6 8 10 12 樣品點(diǎn)完全在同一條直線上 。 X1 X2 其散點(diǎn)圖如下 θ X1 Y2 X2 Y1 因?yàn)闃悠伏c(diǎn)都在 Y1軸上 ， Y1方向有離散性 ， Y2方向無離散性 ， 也就無區(qū)別 。 可以用 Y1來描述這些樣品點(diǎn) ,， 因此在新坐標(biāo)系 中只需用 Y1一個(gè)變量就可以描述原來需用兩個(gè)變量 X1和 X2描述 的樣品 。 那么 Y1包含了原來變量 X1和 X2的 100%的信息 。 在實(shí)際問題中，這樣的情況是很少見的 。 一般情況下，例如有 n個(gè)樣品，每個(gè)樣品有兩個(gè)變量值 X1和 X2，這 n個(gè)樣品的散點(diǎn)圖如帶狀 . 由圖可見這 n個(gè)樣品點(diǎn)無論是沿著 X1軸方向或 X2軸方向都具有較大的離散性，其離散的程度可以分別用觀測變量 X1的方差和 X2的方差定量地表示。 X1 X2 θ X2 Y2 Y1 X1 同樣我們將 X1軸和 X2軸同時(shí)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) θ 角度，得到新坐標(biāo)軸 Y1和 Y2 。 Y1和 Y2是兩個(gè)新變量。根據(jù)解析幾何中的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換公式： ????????????c oss i ns i nc os212211XXYXXY第二節(jié) 主成分的求解 假設(shè)我們所討論的實(shí)際問題中，有 p個(gè)指標(biāo)，我們把這 p個(gè)指標(biāo)看作 p個(gè)隨機(jī)變量，記為 X1， X2， … ， Xp 主成分分析就是要把這 p個(gè)指標(biāo)的問題，轉(zhuǎn)變?yōu)橛懻?p個(gè)指標(biāo)的線性組合的問題 ppppppppppXaXaXaYXaXaXaYXaXaXaY????????????????22112222121212121111主成分分析通常的做法是，尋求原指標(biāo)的線性組合 Yi。 并且滿足： 1 (i=1,2, … P) * 2 不相關(guān)性， Yi與 Yj不相關(guān)。 3 方差極大條件， )()(21 pYV a rYV a rYV a r ??? ?）（),( 21 ipiii aaaa ??122221 ??? ipii aaa ?ppppppppppXaXaXaYXaXaXaYXaXaXaY????????????????22112222121212121111主成分的求解： ppppppppppXaXaXaYXaXaXaYXaXaXaY???????????????
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