小波分析的基本理論(已修改)
2025-05-26 03:57 本頁(yè)面
【正文】 小波分析的基本理論及其應(yīng)用 劉九芬 前言 ? 小波分析就是對(duì)小波基的存在性 、 構(gòu)造與性質(zhì)的研究 。 ? 稱(chēng)為小波 （ 描述性語(yǔ)言 ） ： “ 小 ” 指支撐集 比較 “ 小 ” ； “ 波 ” 指波動(dòng)性 （ 正負(fù)相間 ） ? 小波分析及其應(yīng)用是一門(mén)新學(xué)科 。 它是 Fourier分析與信號(hào)處理理論發(fā)展到一定階段的產(chǎn)物 。 ?}0)(|{s up ?? xxp ??? ?R dxx 0)(?? 小波分析的誕生雖與本世紀(jì)前半葉的某些數(shù)學(xué)發(fā)展 ，例如 Haar分析與 (1938)Littlewood Paley分析有關(guān) ， 但直接地 ， 卻只能追溯到七十年代 ， 那個(gè)時(shí)代 ， A. Calder243。n(1975)表示定理的發(fā)現(xiàn)與對(duì) Hardy空間的原子分解與無(wú)條件基的大量研究為小波分析的誕生作了理論上的準(zhǔn)備 。 ? 1982年 ， J. Str246。mberg首先構(gòu)造出指數(shù)衰減并且屬于 Ck（ k任意有限 ） 的小波函數(shù) （ 由它構(gòu)造出的小波基被稱(chēng)為歷史上第一個(gè)小波基 ） ， 但它并沒(méi)有引起當(dāng)時(shí)人們的注意 。 ? 八十年代初許多搞信號(hào)分析的工程師們也為小波分析的誕生做出了積極的貢獻(xiàn)。例如： J. Morlet(1984)在處理地震信號(hào)時(shí)就使用了小波變換。在影像地震學(xué)中，Morlet知道：在探測(cè)高頻時(shí)假如送到地下的可調(diào)脈沖波持續(xù)時(shí)間太長(zhǎng)，便不能用來(lái)分辨密聚的地層結(jié)構(gòu)。因此， Morlet認(rèn)為不能始終發(fā)射相同波長(zhǎng)的波，在探測(cè)高頻時(shí)應(yīng)發(fā)送更短的波，這種由單個(gè)函數(shù)的伸縮得到的波叫小波，最早使用了小波這一名稱(chēng)。 ? 1986年 Y. Meyer偶然地構(gòu)造出了第一個(gè)具有無(wú)限光滑性并且頻譜有限的現(xiàn)在稱(chēng)之為 Meyer基的真正的小波基，以及隨后不久 S. Mallat與 Y. Meyer建立了構(gòu)造小波基的通用方法 多尺度分析以后，小波分析才形成為一門(mén)科學(xué)。 ? 小波分析的出現(xiàn)不僅為分析數(shù)學(xué)的研究提供了有力工具 ， 而且為信號(hào)分析與處理理論的發(fā)展樹(shù)立了一塊新的里程碑 。 它涉及面之寬廣 ， 影響之深遠(yuǎn) ， 發(fā)展之迅速都是空前的 。 小波分析不僅已經(jīng)應(yīng)用到圖象紋理分析 、 圖象編碼 、 計(jì)算機(jī)視覺(jué) 、 語(yǔ)音識(shí)別 、 語(yǔ)音合成 、語(yǔ)音編碼等與信號(hào)處理有關(guān)的大部分工程領(lǐng)域 ， 而且在調(diào)和分析 、 微分方程數(shù)值解 、 隨機(jī)過(guò)程 、 量子場(chǎng)論等理論學(xué)科也得到了廣泛應(yīng)用 ， 其影響正迅速地向其他學(xué)科漫延 。 Fourier 分析 ? Fourier分析包括 Fourier變換和 Fourier級(jí)數(shù)，是以純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)建立的學(xué)科。該分析方法在科學(xué)與技術(shù)的所有領(lǐng)域中不僅是十分重要的學(xué)科，而且 Fourier變換和 Fourier級(jí)數(shù)還具有重要的物理解釋。另外， Fourier級(jí)數(shù)的計(jì)算方面也是特別有吸引力的，主要是因?yàn)榧?jí)數(shù)的正交性和只用兩個(gè)函數(shù)： sinx與 cosx的簡(jiǎn)單表示性。 ? 經(jīng)典的 Fourier分析指出 ， 周期平方可積函數(shù)可以表示成 Fourier級(jí)數(shù) 。 ? (1) ? 其中 { }被稱(chēng)為的 Fourier系數(shù) ， 可如下求得： (2) ? 類(lèi)似地 ， 認(rèn)為將函數(shù)的周期擴(kuò)展到無(wú)窮大 ， 對(duì) 其 Fourier變換為：
范文總結(jié)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1