【正文】 第 2章 誤 差的基本性 質(zhì) 與 處 理 本章闡述。 教學目 標 ? 三大類誤差的特征、性質(zhì)以及減小各類誤差對測量精度影響的措施 ? 掌握等精度測量的數(shù)據(jù)處理方法 ? 掌握不等精度測量的數(shù)據(jù)處理方法 重點與 難 點 隨機誤差 一、 隨機誤差產(chǎn)生的原因 二、 隨機誤差的分布及其特性 三、 算術(shù)平均值 四、 測量的標準差 五、 標準偏差的幾種計算方法 六、 測量的極限誤差 七、 不等精度測量 八、 隨機誤差的其他分布 九、 減小隨機誤差的技術(shù)途徑 系統(tǒng)誤差 一、 研究系統(tǒng)誤差的重要意義 二、 系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因 三、 系統(tǒng)誤差的分類和特征 四、 系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響 五、 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn) 六、 系統(tǒng)誤差的消除 粗大誤差 一、 粗大誤差產(chǎn)生的原因 二、 判別粗大誤差的準則 三、 防止與消除粗大誤差的方法 測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實例 一、 等精度測量數(shù)據(jù)處理 二、 不等精度測量數(shù)據(jù)處理 三類誤差性質(zhì)與特征小結(jié) 第二章 誤 差的基本性 質(zhì) 與 處 理 當對同一測量值進行多次等精度的重復測量時，得到一系列不同的測量值（常稱為測量列），每個測量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，即前一個數(shù)據(jù)出現(xiàn)后，不能預測下一個數(shù)據(jù)的大小和方向。但就誤差整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng)計規(guī)律。 隨機誤差是由很多暫時未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu)成，主要有以下幾方面： ① 測量裝置方面的因素 ② 環(huán)境方面的因素 ③ 人為方面的因素 零部件變形及其不穩(wěn)定性，信號處理電路的隨機噪聲等。 溫度、濕度、氣壓的變化，光照強度、電磁場變化等。 瞄準、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作不當?shù)取? 第一 節(jié) 隨機 誤 差 一、 隨機誤差產(chǎn)生的原因 隨機誤差的分布可以是正態(tài)分布，也有在非正態(tài)分布，而多數(shù)隨機誤差都服從正態(tài)分布。我們首先來分析服從正態(tài)分布的隨機誤差的特性。 設被測量值的真值為 ，一系列測得值為 ，則測量列的隨機誤差 可表示為： (21) 式中 。 正態(tài)分布的分布密度 與分布函數(shù) 為 (22) (23) 式中： σ —— 標準差（或均方根誤差） e—— 自然對數(shù)的底，基值為 ?? 。 它的數(shù)學期望為 (24) 它的方差為： (25) oL ili?oii Ll ???ni ,2,1 ??)2/( 2221)( ????? ?? ef)(?f )(?F???? ? ?? deF ? ?? ?? )2( 2221)(????? ?? 0)( ??? dfE?????? ???? df )(22第一 節(jié) 隨機 誤 差 二、正態(tài)分布 其平均誤差為： (26) 此外由 可解得或然誤差為 ： (27) 由式（ 22）可以推導出： ① 有 , 可推知分布具有對稱性，即絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對稱性； ② 當 δ=0 時有 ，即 ，可推知單峰性，即絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為誤差的單峰性； ③ 雖然函數(shù) 的存在區(qū)間是 [∞,+∞] ，但實際上，隨機誤差 δ 只是出現(xiàn)在一個有限的區(qū)間內(nèi)，即 [kσ,+kσ], 稱為誤差的有界性； ④ 隨著測量次數(shù)的增加，隨機誤差的算術(shù)平均值趨向于零： 這稱為誤差的補償性。 ? ???? ?? ????? 54)(|| df?? ??? ?? 21)( df??? 32674 ??0)( ???f )()( ?? ??? ff)0()(max ff ??返回本章目錄 )0()( ff ???)(?f0lim 1 ????? nniin?從正態(tài)分布的隨機誤差都具有的四個特征：對稱性、單峰性、有界性、抵償性。由于多數(shù)隨機誤差都服從正態(tài)分布，因此正態(tài)分布在誤差理論中占有十分重要的地位。 第一 節(jié) 隨機 誤 差 圖 21為正態(tài)分布曲線以及各精度參數(shù)在圖中的坐標。 σ 值為曲線上拐點 A的橫坐標， θ 值為曲線右半部面積重心 B的橫坐標， ρ 值的縱坐標線則平分曲線右半部面積。 第一 節(jié) 隨機 誤 差 對某量進行一系列等精度測量時，由于存在隨機誤差，因此其獲得的測量值不完全相同，此時應以算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。 (一 )算術(shù)平均值的意義 設 為 n次測量所得的值，則算術(shù)平均值為 : (28) ???????niin lnnlllx121 1?nlll , 21 ?第一 節(jié) 隨機 誤 差 三、算術(shù)平均值 下面來證明當測量次數(shù)無限增加時，算術(shù)平均值必然趨近于真值 Lo。 即 由前面正態(tài)分布隨機誤差的第四特征可知 ，因此 由此我們可得出結(jié)論：如果能夠?qū)δ骋涣窟M行無限多次測量，就可得到不受隨機誤差影響的測量值，或其影響很小，可以忽略。這就是當測量次數(shù)無限增大時，算術(shù)平均值（數(shù)學上稱之為最大或然值）被認為是最接近于真值的理論依據(jù)。但由于實際上都是有限次測量，因此，我們只能把算術(shù)平均值近似地作為被測量的真值。 oii Ll ????onn nLlll ????????? )( 2121 ?? ????? ?? ?? ni oini i nLl11 ?nnlLniiniio???? ??? 11?0lim 1 ????? nniin?01 Lnlxnii????第一 節(jié) 隨機 誤 差 一般情況下，被測量的真值為未知，不可能按式（ 21）求得隨機誤差，這時可用算術(shù)平均值代替被測量的真值進行計算。此時的隨機誤差稱為殘余誤差， 簡稱殘差： (29) 此時可用更簡便算法來求算術(shù)平均值 。任選一個接近所有測得值的數(shù) 作為參考值，計算每個測得值 與 的差值： (210) 式中的 為簡單數(shù)值，很容易計算，因此按（ 210）求算術(shù)平均值比較簡單。 xlii ???0lnilll oii ,2,1 ?????0lil0010111)(xlnllnnllnllnlxniinioiniionii?????????????????????0x?若測量次數(shù)有限，由參數(shù)估計知，算術(shù)平均值是該測量總體期望的一個最佳的估計量 ，即滿足無偏性、有效性、一致性，并滿足最小二乘法原理；在正態(tài)分布條件下滿足最大似然原理。 第一 節(jié) 隨機 誤 差 例 21 測量某物理量 10次，得到結(jié)果見表 21，求算術(shù)平均值。 解：任選參考值 =， 計算差值 和 列于表 很容易求得算術(shù)平均值 ＝ 。 （二）算術(shù)平均值的計算校核 算術(shù)平均值及其殘余誤差的計算是否正確，可用求得的殘余誤差代數(shù)和來校核。 由 ，式中的 是根據(jù)（ 28）計算的，當求得的 為未經(jīng)湊整的準確數(shù)時，則有： (211) 殘余誤差代數(shù)和為零這一性質(zhì)，可用來校核算術(shù)平均值及其殘余誤差計算的正確性。但當實際得到的為經(jīng)過湊整的非準確數(shù)，存在 0lil? 0x?x??? xlii? ? ?? ? ??ni ni ii xnlv1 1 xx ???ni iv10il ＝ ??x序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 + + 0 0 0 + + 0 + 0 + ????ni 1010 ????? ??i ilxil? iv12－表第一 節(jié) 隨機 誤 差 舍入誤差 Δ ，即有： 成立。而 經(jīng)過分析證明，用殘余誤差代數(shù)和校核算術(shù)平均值及其殘差，其規(guī)則為： ① 殘差代數(shù)和應符合： 當 ，求得的 為非湊整的準確數(shù)時， 為零； 當 ，求得的 為湊整的非準確數(shù)時， 為正，其大小為求 時的余數(shù)； 當 ，求得的 為湊整的非準確數(shù)時， 為負，其大小為求 時的虧數(shù)。 ② 殘差代數(shù)和絕對值應符合： 當 n為偶數(shù)時， ； 當 n為奇數(shù)時， 。 式中的 A為實際求得的算術(shù)平均值 末位數(shù)的一個單位。 以上兩種校核規(guī)則，可根據(jù)實際運算情況選擇一種進行校核，但大多數(shù)情況選用第二種規(guī)則可能較方便，它不需要知道所有測得值之和。 ??? ??nlxni i1 ? ??? ?? ???????ninini iii nnlnlv1 11 )(?? ?ni i xnl1 ??ni iv1x?? ?ni i xnl1 x ??ni iv1x?? ?ni i xnl1 x ??ni iv1xAnvni i 21 ???Anvni i )(1 ????x第一 節(jié) 隨機 誤 差 例 22 用例 21數(shù)據(jù)對計算結(jié)果進行校核。 解：因 n為偶數(shù)， A＝ ，由表 21知 故計算結(jié)果正確。 例 23 測量某直徑 11次，得到結(jié)果如表 22所示，求算術(shù)平均值并進行校核。 解：算術(shù)平均值 為： 取 ＝ ,52102 ??n1?????Anvi ix mmmmlx i i 111 ??? ??xil iv序號 (mm) (mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 + + + + + + 0111 ???i il ???i iv22?表第一 節(jié) 隨機 誤 差 用第一種規(guī)則校核，則有： 用第二種規(guī)則校核，則有： 故用兩種規(guī)則校核皆說明計算結(jié)果正確。 mmmmxnmmli i1???????mmmmmmxlvi ii i 2 0 2 0 0011111111????? ????mmAnmmvmmAnii ,22111??????? ??????????第一 節(jié) 隨機 誤 差 （一）均方根誤差（標準偏差） σ 為什么用 σ 來作為評定隨機誤差的尺度？可以從高斯（正態(tài)）分布的分布密度 推知： 令 ，則有： 高斯參數(shù) h為精密度。由于 h值無法以實驗中得到，故以σ 值代之。 )(?f ]2e x p [)2( 1)( 2