第十八講判別分析(已修改)
2025-06-04 05:11 本頁面
【正文】 第十八講 判別分析 一、距離判別 二、 Bayes判別 三、 Fisher判別 一、距離判別 定義 （一） 馬氏距離 設(shè) 和 是總體 中抽取的樣品， X Y)()( 1 YXVYX T ?? ?G稱 的均值和協(xié)方差陣分別為 和 G),0( ?VV為 與 之間的 馬氏距離 ，記為 ，即 ),( YXD)()(),( 1 YXVYXYXD T ??? ?X Y?為 與總體 的 馬氏距離 ， X容易證明 滿足距離的三條基本公里： 稱 )()(),( 1 ?? ??? ? XVXGXD TG),( YXD（ 1）非負(fù)性： ,0),( ?YXD（ 2）自反性： 且當(dāng)且僅當(dāng) YX ?時， 。0),( ?YXD)。,(),( XYDYXD ?（ 3）三角不等式： ).,(),(),( ZYDYXDZXD ??對任意三個點 YX, 及 有 Z（二） 兩個總體的判別 設(shè)有兩個總體為 和 ， 1G 2G 對于給定的樣品 ,X 需要判斷它來自哪個總體？ 判別的 規(guī)則 是：當(dāng) 時， ),(),( 2212 GXDGXD ?判定 ； 1GX ? 否則判定 。 2GX ?定理 當(dāng)參數(shù) 及 已知時， 21,?? V 判別準(zhǔn)則 是： 當(dāng) 時， 0)( ?? ?Xa T 判定 ； 1GX ? 否則， 2GX ?判定 ， 其中 ， )( 211 ?? ?? ?Va .221 ??? ??兩個總體協(xié)方差陣相同的情形 ： 證明 因為 ),(),( 1222 GXDGXD ?)()()()( 111212 ???? ?????? ?? XVXXVX TT212211 2 ??? ??? ??? VVXXVX TTT111111 2 ??? ??? ??? VVXXVX TTT111212211 )(2 ?????? ??? ???? VVVX TTT)()()(2 21121211 ?????? ????? ?? VVX TT)()(2 211 ??? ??? ?VX T令 所以當(dāng) 時， ),()()()( 211 ???? ????? ? XaVXXW TT有 ),(2),(),( 1222 XWGXDGXD ??0)( ?XW 判定 ； 1GX ? 否則判定 .2GX ?)()( ??? XaXW T由于函數(shù) 是 的線性函數(shù)，故稱 為 的 線性判別 )(XWX X函數(shù) ，稱 為 判別系數(shù) 。 a在實際應(yīng)用中，參數(shù) 及 往往是未知的， 21,?? V此時需要根據(jù)收集到的樣本資料對參數(shù)作出估 計，然后將其相應(yīng)的估計值代入線性判別函數(shù) 中。 )(XW 下面就給出參數(shù)的估計。 設(shè) 是來自總體 的樣本， 1, 21 nXXX ? 1G2, 21 nYYY ?是來自總體 的樣本， 2G且兩樣本相 互獨立，則樣本平均值 ????11111? nkkXnX? ????21221? nkkYnY?分別是總體均值 和 的無偏估計。 1? 2?的估計為 V)(21? 2121SSnnV ????這樣 的估計可取為 ?2??? 21 ??? ??其中 ?
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