【正文】 第 1章 矩陣及其基本運(yùn)算 1 第 1章 矩陣及其基本運(yùn)算 MATLAB，即“矩陣實(shí)驗(yàn)室”，它是以矩陣為基本運(yùn)算單元。因此，本書(shū)從最基本的運(yùn)算單元出發(fā)，介紹 MATLAB的命令及其用法。 矩陣的表示 數(shù)值矩陣的生成 1．實(shí)數(shù)值矩陣輸入 不管是任何矩陣（向量），我們可以直接按行方式輸入每個(gè)元素： 1) 同一行中的元素用逗號(hào)（，）或者用空格符來(lái)分隔，且空格個(gè)數(shù)不限 ； 2) 不同的行用分號(hào)（；）分隔 。 3) 所有元素處于一方括號(hào)（ [ ]）內(nèi) ； 4) 當(dāng)矩陣是多維（三維以上），且方括號(hào)內(nèi)的元素是維數(shù)較低的矩陣時(shí)，會(huì)有多重的方括號(hào)。 如： Time = [11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10] Time = 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X = [ 。 ] X = vect_a = [1 2 3 4 5] vect_a = 1 2 3 4 5 Matrix_B = [1 2 3。 2 3 4。 3 4 5] Matrix_B = 1 2 3 2 3 4 2 4 5 符號(hào)矩陣的生成 在 MATLAB 中輸入符號(hào)向量或者矩陣的方法和輸入數(shù)值類型的向量或者矩陣在形式上很相像，只不過(guò)要用到符號(hào)矩陣定義函數(shù) sym，或者是用到符號(hào)定義函數(shù) syms，先定義一些必要的符號(hào)變量，再像定義普通矩陣一樣輸入符號(hào)矩陣。 1．用命令 sym定義矩陣： 2 這時(shí)的函數(shù) sym實(shí)際是在定義一個(gè)符號(hào)表達(dá)式，這時(shí)的符號(hào)矩陣中的元素可以是 任何的符號(hào)或者是表達(dá)式 ，而且長(zhǎng)度沒(méi)有限制，只是將方括號(hào)置于用于創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式的單引號(hào)中。如下例： 例 13 S = sym(39。[1 2 3 。 a b c 。 sin(x) cos(y) tan(z)]39。) S = [1 2 3] [a b c] [sin（ x） cos（ y） tan（ z） ] 2．用命令 syms定義矩陣 先定義矩陣中的每一個(gè)元素為一個(gè)符號(hào)變量，而后像普通矩陣一樣輸入符號(hào)矩陣。 例 14 syms a b c 。 M1 = sym(39。Classical39。)。 M2 = sym(39。 Jazz39。)。 M3 = sym(39。Blues39。)。 M = [a b c 。 M1, M2 , M3 ] M = [ a b c] [Classical Jazz Blues] 把數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的符號(hào)矩陣。 數(shù)值型和符號(hào)型在 MATLAB中是不相同的，它們之間不能直接進(jìn)行轉(zhuǎn)化。 MATLAB提供了一個(gè)將數(shù)值型轉(zhuǎn)化成符號(hào)型的命令，即 sym。 特殊矩陣的生成 命令 單位陣 函數(shù) eye 格式 Y = eye(n) %生成 nn單位陣 命令 正態(tài)分布隨機(jī)矩陣 函數(shù) randn 格式 Y = randn(n) %生成 nn正態(tài)分布隨機(jī) 矩陣 Y = randn(m,n) %生成 mn正態(tài)分布隨機(jī)矩陣 例 111 產(chǎn)生均值為 ，方差為 4階矩陣 mu=。 sigma=。 x=mu+sqrt(sigma)*randn(4) x = 矩陣運(yùn)算 第 1章 矩陣及其基本運(yùn)算 3 加、減運(yùn)算 運(yùn)算符：“＋”和“－”分別為加、減運(yùn)算符。 運(yùn)算規(guī)則：對(duì)應(yīng)元素相加、減，即按線性代數(shù)中矩陣的“十”，“一”運(yùn)算進(jìn)行。 例 122 A=[1, 1, 1。 1, 2, 3。 1, 3, 6] B=[8, 1, 6。 3, 5, 7。 4, 9, 2] C=A+B D=AB 結(jié)果顯示： C= 9 2 7 4 7 10 5 12 8 D= 7 0 5 2 3 4 3 6 4 乘法 運(yùn)算符： * 運(yùn)算規(guī)則：按線性代數(shù)中矩陣乘法運(yùn)算進(jìn)行，即放在前面的矩陣的各行元素，分別與放在后面的矩陣的各列元素對(duì)應(yīng)相乘并相加。 1．兩個(gè)矩陣相乘 例 123 X= [2 3 4 5。 1 2 2 1]。 Y=[0 1 1。 1 1 0。 0 0 1。 1 0 0]。 Z=X*Y 結(jié)果顯示為： Z= 8 5 6 3 3 3 2．矩陣的數(shù)乘：數(shù)乘矩陣 a=2*X a = 4 6 8 10 2 4 4 2 向量的點(diǎn)乘（內(nèi)積）：維數(shù)相同的兩個(gè)向量的點(diǎn)乘。 數(shù)組乘法： A.*B表示 A與 B對(duì)應(yīng)元素相乘。 除法運(yùn)算 Matlab提供了兩種除法運(yùn)算：左除（ \）和右除（ /）。一般情況下， x=a\b是方程 a*x =b的解，而 x=b/a是方程 x*a=b的解。 4 例 ： a=[1 2 3。 4 2 6。 7 4 9] b=[4。 1。 2]。 x=a\b 則顯示： x= 如果 a為非奇異矩陣， 則 a\b和 b/a可通過(guò) a的逆矩陣與 b陣得到： a\b = inv(a)*b b/a = b*inv(a) 數(shù)組除法： A./B表示 A中元素與 B中元素對(duì)應(yīng)相除。 矩陣轉(zhuǎn)置 運(yùn)算符：′ 方陣的行列式 函數(shù) det 格式 d = det(X) %返回方陣 X的多項(xiàng)式的值 逆 命令 逆 函數(shù) inv 格式 Y=inv(X) %求方陣 X的逆矩陣。若 X為奇異陣或近似奇異陣，將給出警告信息。 例 143 求???????????343 122321A 的逆矩陣 方法一 A=[1 2 3。 2 2 1。 3 4 3]。 Y1=inv(A) Y2=A^(1) 則結(jié)果顯示為 Y1 = 1 3 2 3/2 3 5/2 1 1 1 Y2 = 1 3 2 3/2 3 5/2 1 1 1 第 1章 矩陣及其基本運(yùn)算 5 矩陣的跡 函數(shù) trace 格式 b=trace (A) %返回矩陣 A的跡，即 A的對(duì)角線元素之和。 矩陣的秩 函數(shù) rank 格式 k = rank (A) %求矩陣 A的秩 k = rank (A,tol) %tol為給定誤差 符號(hào)矩陣運(yùn)算 1．符號(hào)矩陣的四則運(yùn)算 Matlab 拋棄了在 ，把符號(hào)矩陣的四則運(yùn)算簡(jiǎn)化為與數(shù)值矩陣完全相同的運(yùn)算方式，其運(yùn)算符為：加（＋）、減（－）、乘（）、除（ /、\）等或：符號(hào)矩陣的和（ symadd）、差（ symsub）、乘 (symmul)。 例 158 )。])3/(1),2/(1)。1/(1,/1[( ?????? xxxxsymA )]0,2。1,[( ???? xxsymB 。 C=BA D=a\b 則顯示： C= x1/x 11/(x+1) x+21/(x+2) 1/(x+3) D= 6*x2*x^37*x^2 1/2*x^3+x+3/2*x^2 6+2*x^3+10*x^2+14*x 2*x^23/2*x1/2*x^3 2．其他基本運(yùn)算 符號(hào)矩陣的其他一些基本運(yùn)算包括轉(zhuǎn)置（ 39。）、行列式（ det）、逆（ inv）、秩（ rank）、冪（ ^）和指數(shù)（ exp和 expm）等都與數(shù)值矩陣相同 3．將數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化為符號(hào)矩陣 函數(shù) sym 格式 B=sym(A) %將 A轉(zhuǎn)化為符號(hào)矩陣 B 例 159 A=[2/3,sqrt(2),。,1/,log(3)] B=sym(A) A = B = [ 2/3, sqrt(2), 111/500] [ 7/5, 100/23, 4947709893870346*2^(52)] 6 線性方程的組的求解 我們將線性方程的求解分為兩類：一類是方程組求唯一解或求特解，另一類是方程組求無(wú)窮解即通解?？梢酝ㄟ^(guò)系數(shù)矩陣的秩來(lái)判斷： 若系數(shù)矩陣的秩 r=n（ n為方程組中未知變量的個(gè)數(shù)），則有唯一解； 若系數(shù)矩陣的秩 rn，則可能有無(wú)窮解； 線性方程組的無(wú)窮解 = 對(duì)應(yīng)齊次方程組的通解 +非齊次方程組的一個(gè)特解；其特解的求法屬于解的第一類問(wèn)題，通解部分屬第二類問(wèn)題。 求線性齊次方程組的通解 在 Matlab 中，函數(shù) null用來(lái)求解零空間，即滿足 A X=0 的解空間，實(shí)際上是求出解空間的一組基（基礎(chǔ)解系）。 格式 z = null % z的列向量為方程組的正交規(guī)范基，滿足 IZZ ??? 。 )r,A(nullz ??? % z的列向量是方程 AX=0的有理基 求非齊次線性方程組的通解 非齊次線性方程組需要先判斷方程組是否有解，若有解，再去求通解 。 因此，步驟為： 第一步：判斷 AX=b是否有解，若有解則進(jìn)行第二步 第二步：求 AX=b的一個(gè)特解 第三步：求 AX=0的通解 第四步： AX=b的通解 = AX=0的通解 +AX=b的一個(gè)特解。 例 181 求解方程組的通解：????????? ????????0x8x9x5x 4x4x3xx31xx3xx432143214321 解法一：在 Matlab編輯器中建立 M文件如下： A=[1 1 3 1。3 1 3 4。1 5 9 8]。 b=[1 4 0]39。 B=[A b]。 n=4。 R_A=rank(A) R_B=rank(B) format rat if R_A==R_Bamp。R_A==n X=A\b elseif R_A==R_Bamp。R_An X=A\b C=null(A,39。r39。) else X=39。Equation has no so