【正文】 a b c] [Classical Jazz Blues] 把數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的符號(hào)矩陣。 MATLAB提供了一個(gè)將數(shù)值型轉(zhuǎn)化成符號(hào)型的命令，即 sym。 sigma=。 運(yùn)算規(guī)則：對(duì)應(yīng)元素相加、減，即按線性代數(shù)中矩陣的“十”，“一”運(yùn)算進(jìn)行。 1, 2, 3。 3, 5, 7。 1．兩個(gè)矩陣相乘 例 123 X= [2 3 4 5。 Y=[0 1 1。 0 0 1。 Z=X*Y 結(jié)果顯示為： Z= 8 5 6 3 3 3 2．矩陣的數(shù)乘：數(shù)乘矩陣 a=2*X a = 4 6 8 10 2 4 4 2 向量的點(diǎn)乘（內(nèi)積）：維數(shù)相同的兩個(gè)向量的點(diǎn)乘。 除法運(yùn)算 Matlab提供了兩種除法運(yùn)算：左除（ \）和右除（ /）。 4 例 ： a=[1 2 3。 7 4 9] b=[4。 2]。 矩陣轉(zhuǎn)置 運(yùn)算符：′ 方陣的行列式 函數(shù) det 格式 d = det(X) %返回方陣 X的多項(xiàng)式的值 逆 命令 逆 函數(shù) inv 格式 Y=inv(X) %求方陣 X的逆矩陣。 例 143 求???????????343 122321A 的逆矩陣 方法一 A=[1 2 3。 3 4 3]。 矩陣的秩 函數(shù) rank 格式 k = rank (A) %求矩陣 A的秩 k = rank (A,tol) %tol為給定誤差 符號(hào)矩陣運(yùn)算 1．符號(hào)矩陣的四則運(yùn)算 Matlab 拋棄了在 ，把符號(hào)矩陣的四則運(yùn)算簡(jiǎn)化為與數(shù)值矩陣完全相同的運(yùn)算方式，其運(yùn)算符為：加（＋）、減（－）、乘（）、除（ /、\）等或：符號(hào)矩陣的和（ symadd）、差（ symsub）、乘 (symmul)。])3/(1),2/(1)。1,[( ???? xxsymB 。）、行列式（ det）、逆（ inv）、秩（ rank）、冪（ ^）和指數(shù)（ exp和 expm）等都與數(shù)值矩陣相同 3．將數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化為符號(hào)矩陣 函數(shù) sym 格式 B=sym(A) %將 A轉(zhuǎn)化為符號(hào)矩陣 B 例 159 A=[2/3,sqrt(2),?？梢酝ㄟ^(guò)系數(shù)矩陣的秩來(lái)判斷： 若系數(shù)矩陣的秩 r=n（ n為方程組中未知變量的個(gè)數(shù)），則有唯一解； 若系數(shù)矩陣的秩 rn，則可能有無(wú)窮解； 線性方程組的無(wú)窮解 = 對(duì)應(yīng)齊次方程組的通解 +非齊次方程組的一個(gè)特解；其特解的求法屬于解的第一類問(wèn)題，通解部分屬第二類問(wèn)題。 X=0 的解空間，實(shí)際上是求出解空間的一組基（基礎(chǔ)解系）。 )r,A(nullz ??? % z的列向量是方程 AX=0的有理基 求非齊次線性方程組的通解 非齊次線性方程組需要先判斷方程組是否有解，若有解，再去求通解 。 例 181 求解方程組的通解：????????? ????????0x8x9x5x 4x4x3xx31xx3xx432143214321 解法一：在 Matlab編輯器中建立 M文件如下： A=[1 1 3 1。1 5 9 8]。 B=[A b]。 R_A=rank(A) R_B=rank(B) format rat if R_A==R_Bamp。R_An X=A\b C=null(A,39。) else X=39。 end 運(yùn)行后結(jié)果顯示為： R_A = 2 第 1章 矩陣及其基本運(yùn)算 7 R_B = 2 Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = . In D:\Matlab\pujun\ at line 11 X = 0 0 8/15 3/5 C = 3/2 3/4 3/2 7/4 1 0 0 1 所以原方程組的通解為 X=k1????????????012/32/3+k2?????????????104/74/3+?????????????5/315/800 解法二：用 rref求解 A=[1 1 3 1。1 5 9 8]。 B=[A b]。 運(yùn)行后結(jié)果顯示為： C = 1 0 3/2 3/4 5/4 0 1 3/2 7/4 1/4 0 0 0 0 0 對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為：??????????????012/32/31 ， ???????????????104/74/32 非齊次方程組的特解為：???????????????004/14/5* 所以，原方程組的通解為： X=k1 1? +k2 2? + *? 。 特征值與特征向量的求法 設(shè) A為 n階方陣，如果數(shù)“ ? ”和 n維列向量 x使得關(guān)系式 xAx?? 成立，則稱 ? 為方陣 A的特征值，非零向量 x稱為 A對(duì)應(yīng)于特征值“ ? ”的特征向量。 例 189 求矩陣?????????????314 020112A 的特征值和特征向量 解： A=[2 1 1。4 1 3]。 Y = sinh(X) %計(jì)算參量 X的雙曲正弦值 Y 注意 ： sin(pi)并不是零，而是與浮點(diǎn)精度有關(guān)的無(wú)窮小量 eps，因?yàn)?pi 僅僅是精確值π浮點(diǎn)近似的表示值而已；對(duì)于復(fù)數(shù) Z= x+iy，函數(shù)的定義為： sin(x+iy) = sin(x)*cos(y) + i*cos(x)*sin(y)， 2ee)zsin( iziz ??? ， 2ee)zsin( zz ??? 例 21 x = pi::pi。 plot(x,sinh(x)) 圖形結(jié) 果為圖 21。在本章，我們僅提供一些最簡(jiǎn)單、經(jīng)典的偏微 分方程，如：橢圓型、雙曲型、拋物型等少數(shù)的偏微分方程，并給出求解方法。 若 A與 B為同型陣列時(shí)， A+B、 AB分別對(duì)對(duì)應(yīng)分量進(jìn)行加減；若 A與 B中至少有一個(gè)為標(biāo)量，則把標(biāo)量擴(kuò)大為與另外一個(gè)同型的陣列，再按對(duì)應(yīng)的分量進(jìn)行加減。 A*B 為線性代數(shù)中定義的矩陣 乘法。即：若 An*k*Bk*m=(aij)n*k.*(bij)k*m=Cn*m=(cij)n*m，則?? ?? k1s sjisij bac ， i=1,2,…,n ； j=1,2,…,m 。 A.*B 符號(hào)數(shù)組的乘法。 A與 B必須為同型陣列，或至少有一個(gè)為標(biāo)量。 A\B 矩陣的左除法。我們指出的是， A\B 近似地等于inv(A)*B。矩陣 A 可以是矩形矩陣（即非正方形矩陣），但此時(shí)要求方程組必須是相容的。 A.\B 為按對(duì)應(yīng)的分量進(jìn)行相除。若若 A與 B 中至少有一個(gè)為標(biāo)量，則把標(biāo)量擴(kuò)大為與另外一個(gè)同型的陣列，再按對(duì)應(yīng)的分量進(jìn)行操作。 X=B/A 為符號(hào)線性方程組 X*A=B 的解。若 X 不存在或者不唯一，則產(chǎn)生一警告信息。 A./B 數(shù)組的右除法。若 A 與 B 為同型陣列時(shí)，An*m./Bn*m=(aij)n*m./(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，則 cij= aij/bij， i=1,2,…,n ； j=1,2,…,m 。 A39。 若 A為復(fù)數(shù)矩陣，則 A39。即，若 A=(aij)=(xij+i*yij)，則)yix()a()a(A ijijij39。 A.39。 A.39。 例 31 syms a b c d e f g h。 c d]。 g h]。 A = [a11 a12。 B = [b1 b2]。 % 求解符號(hào)線性方程組 X*A=B 的解 x1 = X(1) x2 = X(2) 計(jì)算結(jié)果為： C1 = [ a*e, b*f] [ c*g, d*h] C2 = [ a^e, b^f] [ c^g, d^h] C3 = [ (a*c*f+c*b*ha*e*db*d*g)/(a*db*c), (a*b*hb^2*g+a^2*fb*a*e)/(a*db*c)] [ (c*e*d+c*d*h+c^2*fd^2*g)/(a*db*c), (a*d*h+a*c*fb*c*eb*d*g)/(a*db*c)] C4 = [ b*c, b^2a*bb*d] [ c^2a*cd*c, b*c] x1 = (a22*b1+b2*a21)/(a12*a21a11*a22) x2 = (a12*b1+a11*b2)/(a12*a21a11*a22) 基本運(yùn)算 命令 16 代數(shù)方程的符號(hào)解析解 函數(shù) solve 格式 g = solve(eq) %輸入?yún)⒘?eq可以是符號(hào)表達(dá)式或字符串。若輸出參量 g為單一變量，則對(duì)于有多重解的非線性方程， g為一行向量。 g = solve(eq1,eq2,? ,eqn) %輸入?yún)⒘?eq1,eq2,…,eqn 可以是符號(hào)表達(dá)式或字符串。若 g為一單個(gè)變量，則 g為一包含 n個(gè)解的結(jié)構(gòu)；若 g為有 n個(gè)變量的向量，則分別返回結(jié)果給相應(yīng)的變量。 注意： 對(duì)于單個(gè)的方程或方程組，若不存在符號(hào)解，則返回方程（組）的數(shù)值解。a*x^2 + b*x + c39。a*x^2 + b*x + c39。b39。x + y = 139。x 11*y = 539。a*u^2 + v^239。u v = 139。a^2 5*a +639。注意的是，表達(dá)式 R只是函數(shù) S的一個(gè)原函數(shù)，后面沒有帶任意常數(shù) C。 R = int(S,v,a,b) %對(duì)表達(dá)式 s中指定的符號(hào)變量 v計(jì)算從 a到 b的定積分 R = int(S,a,b) %對(duì)符號(hào)表達(dá)式 s中的符號(hào)變量 v計(jì)算從 a到 b的定積分，其中 v=findsym(S)。eq1,eq2,? 39。cond1,cond2,? 39。v39。微分算子 D后面的字母則表示為因變量，即待求解的未知函數(shù)。若沒有給定輸出參量，則在命令窗口顯示解列表。這時(shí)，用戶可以用命令 ode23或 ode45求解方程組的數(shù)值解。(Dy)^2 + y^2 = 139。y(0) = 039。Dx = a*x39。Dx = a*x39。x(0) =