一輪復(fù)習(xí)配套講義：第2篇-第4講-冪函數(shù)與二次函數(shù)(已修改)
2025-04-03 01:32 本頁(yè)面
【正文】 第4講 冪函數(shù)與二次函數(shù)[最新考綱]1．了解冪函數(shù)的概念．2．結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的圖象，了解它們的變化情況．3．理解并掌握二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)．4．能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.知 識(shí) 梳 理1．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)．(2)常見(jiàn)的5種冪函數(shù)的圖象(3)常見(jiàn)的5種冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R [0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增(－∞，0]減，[0，＋∞)增增增(－∞，0)減，(0，＋∞)減定點(diǎn)(0,0)，(1,1)(1,1)(1)二次函數(shù)的定義形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)．(2)二次函數(shù)的三種常見(jiàn)解析式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)為頂點(diǎn)坐標(biāo)；③兩根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分別是f(x)＝0的兩實(shí)根．(3)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)圖象a0a0定義域RR值域y∈y∈對(duì)稱軸x＝－頂點(diǎn)坐標(biāo)奇偶性b＝0?y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間最值當(dāng)x＝－時(shí)，y有最小值ymin＝當(dāng)x＝－時(shí)，y有最大值ymax＝辨 析 感 悟1．對(duì)冪函數(shù)的認(rèn)識(shí)(1)函數(shù)f(x)＝x2與函數(shù)f(x)＝2x2都是冪函數(shù)．()(2)冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)和(0,0)．()(3)冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限．(√)2．對(duì)二次函數(shù)的理解(4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函數(shù)．()(5)(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋6，x∈[0,2]的最大值為16，最小值為－2.()(6)(2011陜西卷改編)設(shè)n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n≤4.()學(xué)生用書(shū)第19頁(yè)[感悟提升]三個(gè)防范 一是冪函數(shù)的圖象最多出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)，一定會(huì)經(jīng)過(guò)第一象限，一定不經(jīng)過(guò)第四象限，若與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)，但并不是都經(jīng)過(guò)(0,0)點(diǎn)，如(2)、(3)．二是二次函數(shù)的最值一定要注意區(qū)間的限制，不要盲目配方求得結(jié)論，如(5)中的最小值就忽略了函數(shù)的定義域．三是一元二次方程有實(shí)根的充要條件為Δ≥0，但還要注意n∈N*，如(6)．考點(diǎn)一 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用【例1】 (1)(2014濟(jì)南模擬)已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)，則log4f(2)的值為( )．A. B．－ C．2 D．－2(2)函數(shù)y＝的圖象是( )．解析 (1) 設(shè)f(x)＝xα，由圖象過(guò)點(diǎn)，得α＝＝?α＝，log4f(2)＝＝. (2)顯然f(－x)＝－f(x)，說(shuō)明函數(shù)是奇函數(shù)，同時(shí)由當(dāng)0＜x＜1時(shí)，＞x；當(dāng)x＞1時(shí)，＜x，知只有B選項(xiàng)符合．答案 (1)A (2)B規(guī)律方法 (1)冪函數(shù)解析式一定要設(shè)為y＝xα(α
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