【正文】 教學(xué)目標(biāo)；、排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列；；，以及與其他專題的綜合運用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學(xué)習(xí)，對排列的一些計數(shù)問題進行歸納總結(jié)，并掌握一些排列技巧，如捆綁法等．知識要點一、排列問題在實際生活中經(jīng)常會遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一列，計算有多少種排法，就是排列問題．在排的過程中，不僅與參與排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)．一般地，從個不同的元素中取出()個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，指的是兩個排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同．如果兩個排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列．排列的基本問題是計算排列的總個數(shù)．從個不同的元素中取出()個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同的元素的排列中取出個元素的排列數(shù)，我們把它記做．根據(jù)排列的定義，做一個元素的排列由個步驟完成：步驟：從個不同的元素中任取一個元素排在第一位，有種方法；步驟：從剩下的()個元素中任取一個元素排在第二位，有()種方法；……步驟：從剩下的個元素中任取一個元素排在第個位置，有(種)方法；由乘法原理，從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)是，即，這里，且等號右邊從開始，后面每個因數(shù)比前一個因數(shù)小，共有個因數(shù)相乘．二、排列數(shù)一般地，對于的情況，排列數(shù)公式變?yōu)椋硎緩膫€不同元素中取個元素排成一列所構(gòu)成排列的排列數(shù)．這種個排列全部取出的排列，叫做個不同元素的全排列．式子右邊是從開始，后面每一個因數(shù)比前一個因數(shù)小，一直乘到的乘積，記為，讀做的階乘，則還可以寫為：，其中．例題精講【例 1】 甲、乙、丙、丁、戊、己六個人站隊，要求：甲乙兩人之間必須有兩個人，問一共有多少種站法？ 【考點】排列之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 先考慮給甲乙兩人定位，兩個人可以站在隊伍從左數(shù)的一、四個，二、五個或三、六個，甲乙兩人要在內(nèi)部全排列，剩下四個人再全排列，所以站法總數(shù)有：（種）．【答案】【鞏固】 甲、乙、丙、丁、戊、己六個人站隊，要求：甲乙兩人之間最多有兩個人，問一共有多少種站法？ 【考點】排列之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 類似地利用剛才的方法，考慮給甲乙兩人定位，兩人之間有兩個人、一個人、沒有人時分別有5種位置選取方法，所以站法總數(shù)有：（種）．【答案】【例 2】 甲、乙、丙、丁、戊、己六個人站隊，要求：甲不能站在隊伍左半邊，乙不能站在隊伍右半邊，丙不能站在隊伍兩端，問一共有多少種站法？ 【考點】排列之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 先對丙定位，有4種站法，無論丙站在哪里，甲和乙一定有一個人有兩種站法，一個人有三種站法，剩下三個人進行全排列，所以站法總數(shù)有：（種）．【答案】【例 3】 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八個人站隊，要求：甲不能站在隊伍最靠左的三個位置，乙不能站在隊伍最靠右的三個位置，丙不能站在隊伍兩端，問一共有多少種站法？ 【考點】排列之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 按甲在不在隊伍最靠右的位置、乙在不在隊伍最靠左的位置分四種情況討論：如果甲在隊伍最靠右的位置、乙在隊伍最靠左的位置，那么丙還有6種站法，剩下的五個人進行全排列，站法總數(shù)有：（種）如果甲在隊伍最靠右的位置，而乙不在隊伍最靠左的位置，那么乙還有4種站法，丙還有5種站法，剩下的五個人進行全排列，站法總數(shù)有：（種）如果甲不在隊伍最靠右的位置，而乙在隊伍最靠左的位置，分析完全類似于上一種，因此同樣有2400種站法如果甲不在隊伍最靠右的位置，乙也不在隊伍最靠左的位置，那么先對甲、乙整體定位，甲、乙的位置選取一共有（種）方法．丙還有4種站法，剩下的五個人進行全排列，站法總數(shù)有：（種）所以總站法種數(shù)為（種）【答案】【例 4】 名男生，名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法：⑴ 甲不在中間也不在兩端；⑵ 甲、乙兩人必須排在兩端；⑶ 男、女生分別排在一起；⑷ 男女相間． 【考點】排列之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 ⑴ 先排甲，個位置除了中間和兩端之外的個位置都可以，有種選擇，剩下的個人隨意排，也就是個元素全排列的問題，有(種)選擇．由乘法原理，共有(種)排法．⑵ 甲、乙先排，有(種)排法；剩下的個人隨意排，有(種)排法．由乘法原理，共有(種)排法．⑶ 分別把男生、女生看成一個整體進行排列，有(種)不同排列方法，再分別對男生、女生內(nèi)部進行排列，分別是個元素與個元素的全排列問題，分別有(種)和(種)排法．由乘法原理，共有(種)排法．⑷ 先排名男生，有(種)排法，再把名女生排到個空檔中，有(種)排法．由乘法原理，一共有(種)排法．【答案】【例 5】 小新、阿呆等七個同學(xué)照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？（1）七個人排成一排； （2）七個人排成一排，小新必須站在中間.（3）七個人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間.（4）七個人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊.（5）七個人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上.（6）七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.（7）七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排． 【考點】排列之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 （1）（種）．（2）只需排其余6個人站剩下的6個位置．（種）.（3）先確定中間的位置站誰，冉排剩下的6個位置．2=1440(種)．（4）先排兩邊，再排剩下的5個位置，其中兩邊的小新和阿呆還可以互換位置． (種)．（5）先排兩邊，從除小新、阿呆之外的5個人中選2人，再排剩下的5個人，（種）.（6）七個人排成一排時，7個位置就是各不相同的．現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個人，7個位置還是各不相同的，所以本題實質(zhì)就是7個元素的全排列．（種）.（7）可以分為兩類情況：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，兩種情況是對等的，所以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以2即可．432=2880(種)．排隊問題，一般先考慮特殊情況再去全排列．【答案】（1）（種）．（2）（種）.（3）2=1440(種)．（4） (種)．（5）（種）.（6）（種）.（7）432=2880(種)．【例 6】 一個正在行進的8人隊列，每人身高各不相同，按從低到高的次序排列。現(xiàn)在他們要變成排的2列縱隊，每列仍然是按從低到高的次序排列。同時要求并排的每兩人中左邊的人比右邊的人要矮，那么，2列縱隊有__________種不同排法。【考點】排列之綜合運用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級，第13題【解析】 將這8人按身高從低到高依次編號為1，2，3，4，5，6，7，8.，現(xiàn)在相當(dāng)于要求將這8個數(shù)填入下面的的方格中，每個方格中填一個數(shù)，使得每一行的方格中的數(shù)依次增大，而每一列中下面的方格中的數(shù)比上面的方格中的數(shù)要大。首先可以確定1和8只能分別在左上角和右下角的方格內(nèi)，2只能在第一行第二列或第二行第一 列的方格內(nèi)，7只能在第一行第四列或第二行第三列的方格內(nèi)。2和7的填法共有種可能，對這4種情況分別進行討論：⑴若2和7的位置如圖①，則第一行第三列的方格不可以填6，但可以填3，4，5，這個方格填好后，第二行的三個空格只有唯一的填法。所以此時有3種填法； ① ②⑵若2和7的位置如圖②，現(xiàn)在需要從3，4，5，6四個數(shù)中選取2個填入第一行的兩個空格，有種選法。所選出的2個數(shù)只有一種填法，且這兩個數(shù)選出后，剩下的兩個數(shù)填在第二行的兩個空格，也只有一種填法，所以這種情況下有6種填法；⑶若2和7的位置如圖③，則第二行第二列的方格內(nèi)不能填3，可以填4，5，6，每一種填法就對應(yīng)整個方格的一種填法，所以此時有3種填法； ③ ④⑷若2和7的位置如圖④，則此時3和6只能分別填在中間方格的左上角和右下角，4和5填在剩下的2個方格，有2種填法。根據(jù)加法原理，共有種不同的填法。所以原題中二列縱隊有14種不同的排法?！敬鸢浮糠N【例 7】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍．”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的．”從這個回答分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？ 【考點】排列之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 這道題乍一看不太像是排列問題，這就需要靈活地對問題進行轉(zhuǎn)化．仔細審題，已知“甲和乙都未拿到冠軍”，而且“乙不是最差的”，也就等價于人排成一排，甲、乙都不站在排頭且乙不站在排尾的排法數(shù)，因為乙的限制最多，所以先排乙，有種排法，再排甲，也有種排法，剩下的人隨意排，有(種)排法．由乘法原理，一共有(種)不同的排法．【答案】【例 8】 書架上有本故事書，本作文選和本漫畫書，全部豎起來排成一排．⑴ 如果同類的書不分開，一共有多少種排法？⑵ 如果同類的書可以分開，一共有多種排法？ 【考點】排列之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 ⑴ 可以分三步來排：先排故事書，有(種)排法；再排作文選，有(種)排法；最后排漫畫書有種排法，而排故事書、作文選、漫畫書的先后順序也可以相互交換，排列的先后順序有(種)．故由乘法原理，一共有種排法．⑵ 可以看成(本)書隨意排，一共有(種)排法．若同類書不分開，共有種排法；若同類書可以分開，共有種排法．【答案】【例 9】 一共有赤、橙、黃、綠、青、藍、紫七種顏色的燈各一盞，按照下列條件把燈串成一串，有多少種不同的串法？⑴ 把盞燈都串起來，其中紫燈不排在第一位，也不排在第七位．⑵ 串起其中盞燈，紫燈不排在第一位，也不排在第四位． 【考點】排列之綜合運用 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 ⑴ 可以先考慮紫燈的位置，除去第一位和第七位外，有種選擇；然后把剩下的盞燈隨意排， 是一個全排列問題，有(種)排法．由乘法原理，一共有(種)．⑵ 先安排第一盞和第四盞燈．第一盞燈不是紫燈，有種選擇；第四盞燈有種選擇；剩下的盞燈中隨意選出盞排列，有(種)選擇．由乘法原理，有(種)．【答案】【例 10】 某市的電視臺有八個節(jié)目準(zhǔn)備分兩天播出，每天播出四個，其中某動畫片和某新聞播報必須在第一天播出，一場體育比賽必須在第二天播出，那么一共有多少種不同的播放節(jié)目方案？ 【考點】排列之綜合運用 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 某動畫片和某新聞播報在第一天播放，對于動畫片而言，可以選擇當(dāng)天四個節(jié)目時段的任何一個時段，一共有種選擇，對于新聞播報可以選擇動畫片之外的三個時段中的任何一個時段，一共有種選擇，體育比賽可以在第二天的四個節(jié)目時段中任選一個，一共有種選擇．剩下的個節(jié)目隨意安排順序，有(種)選擇．由乘法原理，一共有(種)不同的播放節(jié)目方案．【答案】【例 11】 從名運動員中選出人參加接力賽．試求滿足下列條件的參賽方案各有多少種：⑴ 甲不能跑第一棒和第四棒；⑵ 甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒． 【考點】排列之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 ⑴ 先確定第一棒和第四棒．第一棒是甲以外的任何一個人，有種選擇，第四棒有種選擇，剩下的個人中隨意選擇個人跑第二棒和第三棒，有種選擇．由乘法原理，一共有(種)參賽方案．⑵ 先不考慮甲、乙的特殊要求，從名運動員中隨意選擇人參賽，有種選擇．考慮若甲跑第一棒，其余人隨意選擇人參賽，對應(yīng)種不同的選擇，考慮若乙跑第四棒，也對應(yīng)種不同的選擇，但是，從種中減去兩個種的時候，重復(fù)減了一次甲跑第一棒，且乙跑第四棒的情況．這種情況下，對應(yīng)于第一棒，第四棒已確定只需從剩下的人選擇人參賽的(種)方案，應(yīng)加上．綜上所述，一共有(種)不同的參賽方案．【答案】⑴ ⑵【例 12】 一臺晚會上有個演唱節(jié)目和個舞蹈節(jié)目．求： ⑴ 當(dāng)個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少不同的安排節(jié)目的順序？⑵ 當(dāng)要求每個舞蹈節(jié)目之間至少安排個演唱節(jié)目時，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？ 【考點】排列之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 ⑴ 先將個舞蹈節(jié)目看成個節(jié)目，與個演唱節(jié)目一起排，則是個元素全排列的問題，有 (種)方法．第二步再排個舞蹈節(jié)目，也就是個舞蹈節(jié) 目全排列的問題，有(種)方法．根據(jù)乘法原理，一共有(種)方法．⑵ 首先將個演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“□”)，是個元素全排列的問題，一共有(種)方法．□□□□□□第二步，再將個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或個演唱節(jié)目之間(即上圖中“”的位置)，這相當(dāng)于從個“”中選個來排，一共有(種)方法．根據(jù)乘法原理，一共有(種)方法．【答案】⑴ ⑵【鞏固】 由個不同的獨唱節(jié)目和個不同的合唱節(jié)目組成一臺晚會，要求任意兩個合唱節(jié)目不相鄰，開始和最后一個節(jié)目必須是合唱，則這臺晚會節(jié)目的編排方法共有多少種？ 【考點】排列之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 先排獨唱節(jié)目，四個節(jié)目隨意