【正文】 備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)培優(yōu)易錯(cuò)試卷(含解析)之平行四邊形附答案解析一、平行四邊形1．如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE．（1）①猜想圖1中線(xiàn)段BG、線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線(xiàn)的位置關(guān)系，不必證明；②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)任意角度α，得到如圖2情形．請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷．（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖4為例簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．（3）在第（2）題圖4中，連接DG、BE，且a=3，b=2，k=，求BE2+DG2的值．【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，證明見(jiàn)解析；（2）BG⊥DE，證明見(jiàn)解析；（3）．【解析】分析：（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)，顯然三角形BCG順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。即可得到三角形DCE，從而判斷兩條直線(xiàn)之間的關(guān)系；②結(jié)合正方形的性質(zhì)，根據(jù)SAS仍然能夠判定△BCG≌△DCE，從而證明結(jié)論；（2）根據(jù)兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等可以判定上述兩個(gè)三角形相似，從而可以得到（1）中的位置關(guān)系仍然成立；（3）連接BE、DG．根據(jù)勾股定理即可把BE2+DG2轉(zhuǎn)換為兩個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬平方和．詳解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；②∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90176。，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90176。，∴∠CDE+∠DHG=90176。，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴，又∵∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90176。，∴∠CDE+∠DHG=90176。，∴BG⊥DE．（3）連接BE、DG．根據(jù)題意，得AB=3，BC=2，CE=，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90176?！郆E2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4++1=．點(diǎn)睛：此題綜合運(yùn)用了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理．2．如圖1，正方形ABCD的一邊AB在直尺一邊所在直線(xiàn)MN上，點(diǎn)O是對(duì)角線(xiàn)AC、BD的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥MN于點(diǎn)E．（1）如圖1，線(xiàn)段AB與OE之間的數(shù)量關(guān)系為　 ?。ㄕ?qǐng)直接填結(jié)論）（2）保證點(diǎn)A始終在直線(xiàn)MN上，正方形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)θ（0＜θ＜90176。），過(guò)點(diǎn) B作BF⊥MN于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)O、B兩點(diǎn)均在直線(xiàn)MN右側(cè)時(shí)，試猜想線(xiàn)段AF、BF與OE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)O、B兩點(diǎn)分別在直線(xiàn)MN兩側(cè)時(shí)，此時(shí)①中結(jié)論是否依然成立呢？若成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出變化后的結(jié)論并證明．③當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖4的位置時(shí)，線(xiàn)段AF、BF與OE之間的數(shù)量關(guān)系為　 ?。ㄕ?qǐng)直接填結(jié)論）【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,證明見(jiàn)解析。②AF﹣BF=2OE 證明見(jiàn)解析。③BF﹣AF=2OE，【解析】試題分析：（1）利用直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半即可得出結(jié)論；（2）①過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OE于H，可得四邊形BHEF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得EF=BH，BF=HE，根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90176。，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OH=AE，OE=BH，再根據(jù)AFEF=AE，整理即可得證；②過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OE交OE的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，可得四邊形BHEF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得EF=BH，BF=HE，根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90176。，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OH=AE，OE=BH，再根據(jù)AFEF=AE，整理即可得證；③同②的方法可證．試題解析：（1）∵AC，BD是正方形的對(duì)角線(xiàn)，∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90176。，∵OE⊥AB，∴OE=AB，∴AB=2OE，（2）①AF+BF=2OE證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OE于點(diǎn)H∴∠BHE=∠BHO=90176?！逴E⊥MN，BF⊥MN∴∠BFE=∠OEF=90176。∴四邊形EFBH為矩形∴BF=EH，EF=BH∵四邊形ABCD為正方形∴OA=OB，∠AOB=90176?！唷螦OE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90176?！唷螦OE=∠OBH∴△AEO≌△OHB（AAS）∴AE=OH，OE=BH∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE．②AF﹣BF=2OE 證明：如圖3，延長(zhǎng)OE，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OE于點(diǎn)H∴∠EHB=90176?！逴E⊥MN，BF⊥MN∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90176。∴四邊形HBFE為矩形∴BF=HE，EF=BH∵四邊形ABCD是正方形∴OA=OB，∠AOB=90176?！唷螦OE+∠BOH=∠OBH+∠BOH∴∠AOE=∠OBH∴△AOE≌△OBH（AAS）∴AE=OH，OE=BH，∴AF﹣BF=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE③BF﹣AF=2OE，如圖4，作OG⊥BF于G，則四邊形EFGO是矩形，∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90176。，∴∠AOE+∠AOG=90176。．在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90176。，∴∠AOG+∠BOG=90176。，∴∠AOE=∠BOG．∵OG⊥BF，OE⊥AE，∴∠AEO=∠BGO=90176。．∴△AOE≌△BOG（AAS），∴OE=OG，AE=BG，∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，∴BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE，∴BF﹣AF=2OE．3．如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折疊，使點(diǎn)B落到到B′的位置，AB′與CD交于點(diǎn)E.（1）求證：△AED≌△CEB′（2）若AB = 8，DE = 3，點(diǎn)P為線(xiàn)段AC上任意一點(diǎn)，PG⊥AE于G，PH⊥ + PH的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）由折疊的性質(zhì)知，，則由得到；（2）由，可得，又由，即可求得的長(zhǎng)，然后在中，利用勾股定理即可求得的長(zhǎng)，再過(guò)點(diǎn)作于，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)，可得，易證得四邊形是矩形，繼而可求得答案.【詳解】（1）四邊形為矩形， ，又 ， ；（2） ， ， ， ，在中，過(guò)點(diǎn)作于， ， ， ， ， 、共線(xiàn)， ，四邊形是矩形， ， .【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意掌