【正文】 備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)備考之平行四邊形壓軸突破訓(xùn)練∶培優(yōu) 易錯 難題篇附答案一、平行四邊形1．在四邊形中，對角線平分.（1）如圖1，若，且，試探究邊、與對角線的數(shù)量關(guān)系并說明理由.（2）如圖2，若將（1）中的條件“”去掉，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由.（3）如圖3，若，探究邊、與對角線的數(shù)量關(guān)系并說明理由.【答案】（1）.證明見解析；（2）成立；（3）.理由見解析.【解析】試題分析：（1）結(jié)論：AC=AD+AB，只要證明AD=AC，AB=AC即可解決問題；（2）（1）中的結(jié)論成立．以C為頂點，AC為一邊作∠ACE=60176。，∠ACE的另一邊交AB延長線于點E，只要證明△DAC≌△BEC即可解決問題；（3）結(jié)論：AD+AB＝AC．過點C作CE⊥AC交AB的延長線于點E，只要證明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解決問題；試題解析：解：（1）AC=AD+AB．理由如下：如圖1中，在四邊形ABCD中，∠D+∠B=180176。，∠B=90176。，∴∠D=90176。，∵∠DAB=120176。，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60176。，∵∠B=90176。，∴AB＝AC，同理AD＝AC．∴AC=AD+AB．（2）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：以C為頂點，AC為一邊作∠ACE=60176。，∠ACE的另一邊交AB延長線于點E，∵∠BAC=60176。，∴△AEC為等邊三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠ABC=180176。，∠DAB=120176。，∴∠DCB=60176。，∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180176。，∠ABC+∠EBC=180176。，∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴AC=AD+AB．（3）結(jié)論：AD+AB＝AC．理由如下：過點C作CE⊥AC交AB的延長線于點E，∵∠D+∠B=180176。，∠DAB=90176。，∴DCB=90176。，∵∠ACE=90176。，∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45176。，∴∠E=45176。．∴AC=CE．又∵∠D+∠ABC=180176。，∠D=∠CBE，∴△CDA≌△CBE，∴AD=BE，∴AD+AB=AE．在Rt△ACE中，∠CAB=45176。，∴AE＝∴.2．如圖1，正方形ABCD的一邊AB在直尺一邊所在直線MN上，點O是對角線AC、BD的交點，過點O作OE⊥MN于點E．（1）如圖1，線段AB與OE之間的數(shù)量關(guān)系為　 ?。ㄕ堉苯犹罱Y(jié)論）（2）保證點A始終在直線MN上，正方形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)θ（0＜θ＜90176。），過點 B作BF⊥MN于點F．①如圖2，當(dāng)點O、B兩點均在直線MN右側(cè)時，試猜想線段AF、BF與OE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．②如圖3，當(dāng)點O、B兩點分別在直線MN兩側(cè)時，此時①中結(jié)論是否依然成立呢？若成立，請直接寫出結(jié)論；若不成立，請寫出變化后的結(jié)論并證明．③當(dāng)正方形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖4的位置時，線段AF、BF與OE之間的數(shù)量關(guān)系為　 ?。ㄕ堉苯犹罱Y(jié)論）【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,證明見解析。②AF﹣BF=2OE 證明見解析。③BF﹣AF=2OE，【解析】試題分析：（1）利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出結(jié)論；（2）①過點B作BH⊥OE于H，可得四邊形BHEF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=BH，BF=HE，根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90176。，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OH=AE，OE=BH，再根據(jù)AFEF=AE，整理即可得證；②過點B作BH⊥OE交OE的延長線于H，可得四邊形BHEF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=BH，BF=HE，根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90176。，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OH=AE，OE=BH，再根據(jù)AFEF=AE，整理即可得證；③同②的方法可證．試題解析：（1）∵AC，BD是正方形的對角線，∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90176。，∵OE⊥AB，∴OE=AB，∴AB=2OE，（2）①AF+BF=2OE證明：如圖2，過點B作BH⊥OE于點H∴∠BHE=∠BHO=90176?！逴E⊥MN，BF⊥MN∴∠BFE=∠OEF=90176?！嗨倪呅蜤FBH為矩形∴BF=EH，EF=BH∵四邊形ABCD為正方形∴OA=OB，∠AOB=90176。∴∠AOE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90176?！唷螦OE=∠OBH∴△AEO≌△OHB（AAS）∴AE=OH，OE=BH∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE．②AF﹣BF=2OE 證明：如圖3，延長OE，過點B作BH⊥OE于點H∴∠EHB=90176?！逴E⊥MN，BF⊥MN∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90176。∴四邊形HBFE為矩形∴BF=HE，EF=BH∵四邊形ABCD是正方形∴OA=OB，∠AOB=90176?！唷螦OE+∠BOH=∠OBH+∠BOH∴∠AOE=∠OBH∴△AOE≌△OBH（AAS）∴AE=OH，OE=BH，∴AF﹣BF=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE③BF﹣AF=2OE，如圖4，作OG⊥BF于G，則四邊形EFGO是矩形，∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90176。，∴∠AOE+∠AOG=90176。．在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90176。，∴∠AOG+∠BOG=90176。，∴∠AOE=∠BOG．∵OG⊥BF，OE⊥AE，∴∠AEO=∠BGO=90176。．∴△AOE≌△BOG（AAS），∴OE=OG，AE=BG，∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，∴BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE，∴BF﹣AF=2OE．3．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F(xiàn)．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，求EF的長．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】分析：（1）根據(jù)平行四邊形ABCD的性質(zhì)，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四邊形BEDF的對角線互相平分，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的長.詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點，∴∠A=90176。，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，在△BOE和△DOF中， ∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO=FO，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，BD⊥EF，設(shè)BE=x，則DE=x，AE=6x，