【正文】 20202021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)分類練習(xí) 二次函數(shù)綜合解答題附答案解析一、二次函數(shù)1．如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，其中，.（1）若直線經(jīng)過、兩點，求直線和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點，使點到點的距離與到點的距離之和最小，求出點的坐標(biāo)；（3）設(shè)點為拋物線的對稱軸上的一個動點，求使為直角三角形的點的坐標(biāo).【答案】（1）拋物線的解析式為，直線的解析式為.（2）；（3）的坐標(biāo)為或或或.【解析】分析：（1）先把點A，C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得到a和b，c的關(guān)系式，再根據(jù)拋物線的對稱軸方程可得a和b的關(guān)系，再聯(lián)立得到方程組，解方程組，求出a，b，c的值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點的坐標(biāo)代入直線y=mx+n，解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式；（2）設(shè)直線BC與對稱軸x=1的交點為M，此時MA+MC的值最?。褁=1代入直線y=x+3得y的值，即可求出點M坐標(biāo)；（3）設(shè)P（1，t），又因為B（3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（1+3）2+t2=4+t2，PC2=（1）2+（t3）2=t26t+10，再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點P的坐標(biāo)．詳解：（1）依題意得：，解得：，∴拋物線的解析式為.∵對稱軸為，且拋物線經(jīng)過，∴把、分別代入直線，得，解之得：，∴直線的解析式為.（2）直線與對稱軸的交點為，則此時的值最小，把代入直線得，∴.即當(dāng)點到點的距離與到點的距離之和最小時的坐標(biāo)為.（注：本題只求坐標(biāo)沒說要求證明為何此時的值最小，所以答案未證明的值最小的原因）.（3）設(shè)，又，∴，，①若點為直角頂點，則，即：解得：，②若點為直角頂點，則，即：解得：，③若點為直角頂點，則，即：解得：，.綜上所述的坐標(biāo)為或或或.點睛：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)和一次函數(shù)）的解析式、利用軸對稱性質(zhì)確定線段的最小長度、難度不是很大，是一道不錯的中考壓軸題．2．（10分）（2015?佛山）如圖，一小球從斜坡O點處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=﹣x2+4x刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫．（1）請用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標(biāo)；（2）小球的落點是A，求點A的坐標(biāo)；（3）連接拋物線的最高點P與點O、A得△POA，求△POA的面積；（4）在OA上方的拋物線上存在一點M（M與P不重合），△MOA的面積等于△POA的面積．請直接寫出點M的坐標(biāo)．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】試題分析：（1）利用配方法拋物線的一般式化為頂點式，即可求出二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標(biāo)；（2）聯(lián)立兩解析式，可求出交點A的坐標(biāo)；（3）作PQ⊥x軸于點Q，AB⊥x軸于點B．根據(jù)S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入數(shù)值計算即可求解；（4）過P作OA的平行線，交拋物線于點M，連結(jié)OM、AM，由于兩平行線之間的距離相等，根據(jù)同底等高的兩個三角形面積相等，可得△MOA的面積等于△POA的面積．設(shè)直線PM的解析式為y=x+b，將P（2，4）代入，求出直線PM的解析式為y=x+3．再與拋物線的解析式聯(lián)立，得到方程組，解方程組即可求出點M的坐標(biāo)．試題解析：（1）由題意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標(biāo)為（2，4）；（2）聯(lián)立兩解析式可得：，解得：，或．故可得點A的坐標(biāo)為（，）；（3）如圖，作PQ⊥x軸于點Q，AB⊥x軸于點B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=24+（+4）（﹣2）﹣=4+﹣=；（4）過P作OA的平行線，交拋物線于點M，連結(jié)OM、AM，則△MOA的面積等于△POA的面積．設(shè)直線PM的解析式為y=x+b，∵P的坐標(biāo)為（2，4），∴4=2+b，解得b=3，∴直線PM的解析式為y=x+3．由，解得，∴點M的坐標(biāo)為（，）．考點：二次函數(shù)的綜合題3．在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C（0，3），頂點為G．（1）求拋物線和直線AC的解析式；（2）如圖，設(shè)E（m，0）為x軸上一動點，若△CGE和△CGO的面積滿足S△CGE＝S△CGO，求點E的坐標(biāo)；（3）如圖，設(shè)點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右運動，運動時間為ts，點M為射線AC上一動點，過點M作MN∥x軸交拋物線對稱軸右側(cè)部分于點N．試探究點P在運動過程中，是否存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+3；直線AC解析式為：y＝3x+3；（2）點E坐標(biāo)為（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，t的值為或或．【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法即能求出拋物線和直線AC解析式．（2）△CGE與△CGO雖然有公共底邊CG，但高不好求，故把△CGE構(gòu)造在比較好求的三角形內(nèi)計算．延長GC交x軸于點F，則△FGE與△FCE的差即為△CGE．（3）設(shè)M的坐標(biāo)（e，3e+3），分別以M、N、P為直角頂點作分類討論，利用等腰直角三角形的特殊線段長度關(guān)系，用e表示相關(guān)線段并列方程求解，再根據(jù)e與AP的關(guān)系求t的值．【詳解】（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴拋物線解析式為：y=x2+2x+3，設(shè)直線AC解析式為y=kx+3，∴k+3=0，得：k=3，∴直線AC解析式為：y=3x+3.（2）延長GC交x軸于點F，過G作GH⊥x軸于點H，∵y=x2+2x+3=（x1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC?xG=31=，∴S△CGE=S△CGO==2，①若點E在x軸正半軸上，設(shè)直線CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直線CG解析式：y=x+3，∴F（3，0），∵E（m，0），∴EF=m（3）=m+3，∴S△CGE=S△FGES△FCE=EF?GHEF?OC=EF?（GHOC）=（m+3）?（43）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐標(biāo)為（1，0）.②若點E在x軸負(fù)半軸上，則點E到直線CG的距離與點（1，0）到直線CG距離相等，即點E到F的距離等于點（1，0）到F的距離，∴EF=3m=1（3）=4，解得：m=7 即E（7，0），綜上所述，點E坐標(biāo)為（1，0）或（7，0）.（3）存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，設(shè)M（e，3e+3），則yN=yM=3e+3，①若∠MPN=90176。，PM=PN，如圖2，過點M作MQ⊥x軸于點Q，過點N作NR⊥x軸于點R，∵MN∥x軸，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45176。，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴xN=xM+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在拋物線上，∴（7e+6）2+2（7e+6）+