【正文】 備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題專題復(fù)習(xí)二次函數(shù)練習(xí)題及答案一、二次函數(shù)1．（2017南寧，第26題，10分）如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D的直線l與射線AC，AB分別交于點(diǎn)M，N．（1）直接寫出a的值、點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸；（2）點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD為等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）證明：當(dāng)直線l繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，均為定值，并求出該定值．【答案】（1）a=，A（﹣，0），拋物線的對稱軸為x=；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，﹣4）；（3）．【解析】試題分析：（1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到關(guān)于x的方程，解關(guān)于x的方程可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用拋物線的對稱性可確定出拋物線的對稱軸；（2）利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得∠CAO=60176。，依據(jù)AE為∠BAC的角平分線可求得∠DAO=30176。，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得OD=1，則可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，a）．依據(jù)兩點(diǎn)的距離公式可求得AD、AP、DP的長，然后分為AD=PA、AD=DP、AP=DP三種情況列方程求解即可；（3）設(shè)直線MN的解析式為y=kx+1，接下來求得點(diǎn)M和點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，于是可得到AN的長，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得AM的長，最后將AM和AN的長代入化簡即可．試題解析：（1）∵C（0，3），∴﹣9a=3，解得：a=．令y=0得：，∵a≠0，∴，解得：x=﹣或x=，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，0），B（，0），∴拋物線的對稱軸為x=．（2）∵OA=，OC=3，∴tan∠CAO=，∴∠CAO=60176。．∵AE為∠BAC的平分線，∴∠DAO=30176。，∴DO=AO=1，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，a）．依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．當(dāng)AD=PA時(shí)，4=12+a2，方程無解．當(dāng)AD=DP時(shí)，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）．當(dāng)AP=DP時(shí)，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣4）．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，﹣4）．（3）設(shè)直線AC的解析式為y=mx+3，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：，解得：m=，∴直線AC的解析式為．設(shè)直線MN的解析式為y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，0），∴AN==．將與y=kx+1聯(lián)立解得：x=，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．過點(diǎn)M作MG⊥x軸，垂足為G．則AG=．∵∠MAG=60176。，∠AGM=90176。，∴AM=2AG==，∴= == =．點(diǎn)睛：本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，分類討論是解答問題（2）的關(guān)鍵，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)和點(diǎn)N的坐標(biāo)是解答問題（3）的關(guān)鍵．2．如圖，拋物線y=ax2+bx過點(diǎn)B（1，﹣3），對稱軸是直線x=2，且拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)A．（1）求拋物線的解析式，并根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)y≤0時(shí)，自變量x的取值范圍；（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)P，當(dāng)PA⊥BA時(shí)，求△PAB的面積．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣4x，自變量x的取值范圖是0≤x≤4；（2）△PAB的面積=15．【解析】【分析】（1）將函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)B坐標(biāo)代入的函數(shù)的解析式中，再和對稱軸方程聯(lián)立求出待定系數(shù)a和b；（2）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為F，設(shè)P（x，x24x），證明△PFA∽△AEB,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將△PAB的面積構(gòu)造成長方形去掉三個(gè)三角形的面積．【詳解】（1）由題意得，解得，∴拋物線的解析式為y=x24x，令y=0，得x22x=0，解得x=0或4，結(jié)合圖象知，A的坐標(biāo)為（4，0），根據(jù)圖象開口向上，則y≤0時(shí)，自變量x的取值范圍是0≤x≤4；（2）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為F，設(shè)P（x，x24x）,∵PA⊥BA∴∠PAF+∠BAE=90176。,∵∠PAF+∠FPA=90176。,∴∠FPA=∠BAE又∠PFA=∠AEB=90176?！唷鱌FA∽△AEB,∴，即，解得，x= ?1，x=4（舍去）∴x24x=5∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，5），又∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），易得到BP直線為y=4x+1所以BP與x軸交點(diǎn)為（，0）∴S△PAB=【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，特別是利用待定系數(shù)法將兩條直線表達(dá)式解出，利用點(diǎn)的坐標(biāo)求三角形的面積是關(guān)鍵．3．如圖，直線l：y＝﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過點(diǎn)B，交x軸正半軸于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值及此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）將點(diǎn)A繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)A′，連接CA′、BA′，在旋轉(zhuǎn)過程中，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA′以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A′，再沿線段A′C以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)到C后停止，求點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少是多少？【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S與m的函數(shù)表達(dá)式是S＝，S的最大值是，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（，）；（3）點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少是秒．【解析】【分析】（1）首先求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)即可計(jì)算出二次函數(shù)的a值，進(jìn)而即可計(jì)算出二次函數(shù)的解析式。（2）計(jì)算出C點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)△ABM的面積為S＝S四邊形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB，化簡成二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)求解最大值即可.（3）首先證明△OHA′∽△OA′B，再結(jié)合A′H+A′C≥HC即可計(jì)算出t的最小值.【詳解】（1）將x＝0代入y＝﹣3x+3，得y＝3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），∵拋物線y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過點(diǎn)B，∴3＝a+4，得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）將y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得x1＝﹣1，x2＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），∵點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，∴0＜m＜3，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），將y＝0代入y＝﹣3x+3，得x＝1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（1，0），∵△ABM的面積為S，∴S＝S四邊形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB＝，化簡，得S＝＝，∴當(dāng)m＝時(shí)，S取得最大值，此時(shí)S＝，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），即S與m的函數(shù)