【正文】 20202021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)與平行四邊形有關(guān)的壓軸題附答案一、平行四邊形1．如圖1，正方形ABCD的一邊AB在直尺一邊所在直線MN上，點(diǎn)O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作OE⊥MN于點(diǎn)E．（1）如圖1，線段AB與OE之間的數(shù)量關(guān)系為　 ?。ㄕ堉苯犹罱Y(jié)論）（2）保證點(diǎn)A始終在直線MN上，正方形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)θ（0＜θ＜90176。），過點(diǎn) B作BF⊥MN于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)O、B兩點(diǎn)均在直線MN右側(cè)時(shí)，試猜想線段AF、BF與OE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)O、B兩點(diǎn)分別在直線MN兩側(cè)時(shí)，此時(shí)①中結(jié)論是否依然成立呢？若成立，請直接寫出結(jié)論；若不成立，請寫出變化后的結(jié)論并證明．③當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖4的位置時(shí)，線段AF、BF與OE之間的數(shù)量關(guān)系為　 　．（請直接填結(jié)論）【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,證明見解析。②AF﹣BF=2OE 證明見解析。③BF﹣AF=2OE，【解析】試題分析：（1）利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出結(jié)論；（2）①過點(diǎn)B作BH⊥OE于H，可得四邊形BHEF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=BH，BF=HE，根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90176。，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OH=AE，OE=BH，再根據(jù)AFEF=AE，整理即可得證；②過點(diǎn)B作BH⊥OE交OE的延長線于H，可得四邊形BHEF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=BH，BF=HE，根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90176。，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OH=AE，OE=BH，再根據(jù)AFEF=AE，整理即可得證；③同②的方法可證．試題解析：（1）∵AC，BD是正方形的對角線，∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90176。，∵OE⊥AB，∴OE=AB，∴AB=2OE，（2）①AF+BF=2OE證明：如圖2，過點(diǎn)B作BH⊥OE于點(diǎn)H∴∠BHE=∠BHO=90176?！逴E⊥MN，BF⊥MN∴∠BFE=∠OEF=90176?！嗨倪呅蜤FBH為矩形∴BF=EH，EF=BH∵四邊形ABCD為正方形∴OA=OB，∠AOB=90176。∴∠AOE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90176?！唷螦OE=∠OBH∴△AEO≌△OHB（AAS）∴AE=OH，OE=BH∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE．②AF﹣BF=2OE 證明：如圖3，延長OE，過點(diǎn)B作BH⊥OE于點(diǎn)H∴∠EHB=90176?！逴E⊥MN，BF⊥MN∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90176?！嗨倪呅蜨BFE為矩形∴BF=HE，EF=BH∵四邊形ABCD是正方形∴OA=OB，∠AOB=90176?！唷螦OE+∠BOH=∠OBH+∠BOH∴∠AOE=∠OBH∴△AOE≌△OBH（AAS）∴AE=OH，OE=BH，∴AF﹣BF=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE③BF﹣AF=2OE，如圖4，作OG⊥BF于G，則四邊形EFGO是矩形，∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90176。，∴∠AOE+∠AOG=90176。．在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90176。，∴∠AOG+∠BOG=90176。，∴∠AOE=∠BOG．∵OG⊥BF，OE⊥AE，∴∠AEO=∠BGO=90176。．∴△AOE≌△BOG（AAS），∴OE=OG，AE=BG，∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，∴BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE，∴BF﹣AF=2OE．2．問題發(fā)現(xiàn)：（）如圖①，點(diǎn)為平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，請過點(diǎn)畫一條直線，使其同時(shí)平分平行四邊形的面積和周長．問題探究：（）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊、分別在軸、軸正半軸上，點(diǎn) 坐標(biāo)為．已知點(diǎn)為矩形外一點(diǎn)，請過點(diǎn)畫一條同時(shí)平分矩形面積和周長的直線，說明理由并求出直線，說明理由并求出直線被矩形截得線段的長度．問題解決：（）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊、分別在軸、軸正半軸上，軸，軸，且，點(diǎn)為五邊形內(nèi)一點(diǎn)．請問：是否存在過點(diǎn)的直線，分別與邊與交于點(diǎn)、且同時(shí)平分五邊形的面積和周長?若存在，請求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由． 【答案】（1）作圖見解析；（2），；（3），．【解析】試題分析：（1）連接AC、BD交于點(diǎn)O，作直線PO，直線PO將平行四邊形ABCD的面積和周長分別相等的兩部分．（2）連接AC，BD交于點(diǎn)，過、P點(diǎn)的直線將矩形ABCD的面積和周長分為分別相等的兩部分．（3）存在，直線平分五邊形面積、周長．試題解析：（）作圖如下：（）∵，∴設(shè)，，∴，交軸于，交于，．（）存在，直線平分五邊形面積、周長．∵在直線上，∴連交、于點(diǎn)、設(shè)，，∴直線，聯(lián)立，得，∴，．3．在圖1中，正方形ABCD的邊長為a，等腰直角三角形FAE的斜邊AE＝2b，且邊AD和AE在同一直線上．操作示例當(dāng)2b＜a時(shí)，如圖1，在BA上選取點(diǎn)G，使BG＝b，連結(jié)FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分別拼接到△FEH和△CHD的位置構(gòu)成四邊形FGCH．思考發(fā)現(xiàn)小明在操作后發(fā)現(xiàn)：該剪拼方法就是先將△FAG繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。到△FEH的位置，易知EH與AD在同一直線上．連結(jié)CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，從而又可將△CGB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。到△CHD的位置．這樣，對于剪拼得到的四邊形FGCH（如圖1），過點(diǎn)F作FM⊥AE于點(diǎn)M（圖略），利用SAS公理可判斷△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90176。．進(jìn)而根據(jù)正方形的判定方法，可以判斷出四邊形FGCH是正方形．實(shí)踐探究（1）正方形FGCH的面積是 ；（用含a， b的式子表示）（2）類比圖1的剪拼方法，請你就圖2—圖4的三種情形分別畫出剪拼成一個(gè)新正方形的示意圖．聯(lián)想拓展小明通過探究后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)b≤a時(shí)，此類圖形都能剪拼成正方形，且所選取的點(diǎn)G的位置在BA方向上隨著b的增大不斷上移．當(dāng)b＞a時(shí)（如圖5），能否剪拼成