20xx-20xx備戰(zhàn)中考數(shù)學與平行四邊形有關(guān)的壓軸題及答案(已修改)
2025-03-30 22:25 本頁面
【正文】 20202021備戰(zhàn)中考數(shù)學與平行四邊形有關(guān)的壓軸題及答案一、平行四邊形1．如圖1，正方形ABCD的一邊AB在直尺一邊所在直線MN上，點O是對角線AC、BD的交點，過點O作OE⊥MN于點E．（1）如圖1，線段AB與OE之間的數(shù)量關(guān)系為 ?。ㄕ堉苯犹罱Y(jié)論）（2）保證點A始終在直線MN上，正方形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)θ（0＜θ＜90176。），過點 B作BF⊥MN于點F．①如圖2，當點O、B兩點均在直線MN右側(cè)時，試猜想線段AF、BF與OE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．②如圖3，當點O、B兩點分別在直線MN兩側(cè)時，此時①中結(jié)論是否依然成立呢？若成立，請直接寫出結(jié)論；若不成立，請寫出變化后的結(jié)論并證明．③當正方形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖4的位置時，線段AF、BF與OE之間的數(shù)量關(guān)系為 ?。ㄕ堉苯犹罱Y(jié)論）【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,證明見解析。②AF﹣BF=2OE 證明見解析。③BF﹣AF=2OE，【解析】試題分析：（1）利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出結(jié)論；（2）①過點B作BH⊥OE于H，可得四邊形BHEF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=BH，BF=HE，根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90176。，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OH=AE，OE=BH，再根據(jù)AFEF=AE，整理即可得證；②過點B作BH⊥OE交OE的延長線于H，可得四邊形BHEF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=BH，BF=HE，根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90176。，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OH=AE，OE=BH，再根據(jù)AFEF=AE，整理即可得證；③同②的方法可證．試題解析：（1）∵AC，BD是正方形的對角線，∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90176。，∵OE⊥AB，∴OE=AB，∴AB=2OE，（2）①AF+BF=2OE證明：如圖2，過點B作BH⊥OE于點H∴∠BHE=∠BHO=90176?！逴E⊥MN，BF⊥MN∴∠BFE=∠OEF=90176?！嗨倪呅蜤FBH為矩形∴BF=EH，EF=BH∵四邊形ABCD為正方形∴OA=OB，∠AOB=90176?！唷螦OE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90176?！唷螦OE=∠OBH∴△AEO≌△OHB（AAS）∴AE=OH，OE=BH∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE．②AF﹣BF=2OE 證明：如圖3，延長OE，過點B作BH⊥OE于點H∴∠EHB=90176?！逴E⊥MN，BF⊥MN∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90176?！嗨倪呅蜨BFE為矩形∴BF=HE，EF=BH∵四邊形ABCD是正方形∴OA=OB，∠AOB=90176?！唷螦OE+∠BOH=∠OBH+∠BOH∴∠AOE=∠OBH∴△AOE≌△OBH（AAS）∴AE=OH，OE=BH，∴AF﹣BF=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE③BF﹣AF=2OE，如圖4，作OG⊥BF于G，則四邊形EFGO是矩形，∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90176。，∴∠AOE+∠AOG=90176。．在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90176。，∴∠AOG+∠BOG=90176。，∴∠AOE=∠BOG．∵OG⊥BF，OE⊥AE，∴∠AEO=∠BGO=90176。．∴△AOE≌△BOG（AAS），∴OE=OG，AE=BG，∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，∴BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE，∴BF﹣AF=2OE．2．如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一動點（不與點B、C重合），連接DE、點C關(guān)于直線DE的對稱點為C′，連接AC′并延長交直線DE于點P，F(xiàn)是AC′的中點，連接DF．（1）求∠FDP的度數(shù)；（2）連接BP，請用等式表示AP、BP、DP三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）連接AC，若正方形的邊長為，請直接寫出△ACC′的面積最大值．【答案】（1）45176。；（2）BP+DP＝AP，證明詳見解析；（3）﹣1．【解析】【分析】（1）證明∠CDE＝∠C39。DE和∠ADF＝∠C39。DF，可得∠FDP39。＝∠ADC＝45176。；（2）作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△BAP≌△DAP39。（SAS），得BP＝DP39。，從而得△PAP39。是等腰直角三角形，可得結(jié)論；（3）先作高線C39。G，確定△ACC′的面積中底邊AC為定值2，根據(jù)高的大小確定面積的大小，當C39。在BD上時，C39。G最大，其△ACC′的面積最大，并求此時的面積．【詳解】（1）由對稱得：CD＝C39。D，∠CDE＝∠C39。DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90176。，∴AD＝C39。D，∵F是AC39。的中點，∴DF⊥AC39。，∠ADF＝∠C39。DF，∴∠FDP＝∠FDC39。+∠EDC39。＝∠ADC＝45176。；（2）結(jié)論：BP+DP＝AP，理由是：如圖，作AP39?！虯P交PD的延長線于P39。，∴∠PAP39。＝90176。，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90176。，∴∠DAP39。＝∠BAP，由（1）可知：∠FDP＝45176?！摺螪FP＝90176?！唷螦PD＝45176。，∴∠P39。＝45176。，∴AP＝AP39。，在△BAP和△DAP39。中，∵，∴△BAP≌△DAP39。（SAS），∴BP＝DP39。，∴DP+BP＝PP39。＝AP；（3）如圖，過C39。作C39。G⊥A
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