【正文】 20202021中考數(shù)學平行四邊形的綜合題試題含答案解析一、平行四邊形1．四邊形ABCD是正方形，AC與BD，相交于點O，點E、F是直線AD上兩動點，且AE=DF，CF所在直線與對角線BD所在直線交于點G，連接AG，直線AG交BE于點H．（1）如圖1，當點E、F在線段AD上時，①求證：∠DAG=∠DCG；②猜想AG與BE的位置關(guān)系，并加以證明；（2）如圖2，在（1）條件下，連接HO，試說明HO平分∠BHG；（3）當點E、F運動到如圖3所示的位置時，其它條件不變，請將圖形補充完整，并直接寫出∠BHO的度數(shù)．【答案】（1）①證明見解析；②AG⊥BE．理由見解析；（2）證明見解析；（3）∠BHO=45176。．【解析】試題分析：（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45176。，則可根據(jù)“SAS”證明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；②根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=DC，∠BAD=∠CDA=90176。，根據(jù)“SAS”證明△ABE≌△DCF，則∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90176。得到∠ABE+∠BAG=90176。，于是可判斷AG⊥BE；（2）如答圖1所示，過點O作OM⊥BE于點M，ON⊥AG于點N，證明△AON≌△BOM，可得四邊形OMHN為正方形，因此HO平分∠BHG結(jié)論成立；（3）如答圖2所示，與（1）同理，可以證明AG⊥BE；過點O作OM⊥BE于點M，ON⊥AG于點N，構(gòu)造全等三角形△AON≌△BOM，從而證明OMHN為正方形，所以HO平分∠BHG，即∠BHO=45176。．試題解析：（1）①∵四邊形ABCD為正方形，∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45176。，在△ADG和△CDG中，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCG；②AG⊥BE．理由如下：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90176。，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF，∵∠DAG=∠DCG，∴∠DAG=∠ABE，∵∠DAG+∠BAG=90176。，∴∠ABE+∠BAG=90176。，∴∠AHB=90176。，∴AG⊥BE；（2）由（1）可知AG⊥BE．如答圖1所示，過點O作OM⊥BE于點M，ON⊥AG于點N，則四邊形OMHN為矩形．∴∠MON=90176。，又∵OA⊥OB，∴∠AON=∠BOM．∵∠AON+∠OAN=90176。，∠BOM+∠OBM=90176。，∴∠OAN=∠OBM．在△AON與△BOM中，∴△AON≌△BOM（AAS）．∴OM=ON，∴矩形OMHN為正方形，∴HO平分∠BHG．（3）將圖形補充完整，如答圖2示，∠BHO=45176。．與（1）同理，可以證明AG⊥BE．過點O作OM⊥BE于點M，ON⊥AG于點N，與（2）同理，可以證明△AON≌△BOM，可得OMHN為正方形，所以HO平分∠BHG，∴∠BHO=45176。．考點：四邊形綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)2．如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一動點（不與點B、C重合），連接DE、點C關(guān)于直線DE的對稱點為C′，連接AC′并延長交直線DE于點P，F(xiàn)是AC′的中點，連接DF．（1）求∠FDP的度數(shù)；（2）連接BP，請用等式表示AP、BP、DP三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）連接AC，若正方形的邊長為，請直接寫出△ACC′的面積最大值．【答案】（1）45176。；（2）BP+DP＝AP，證明詳見解析；（3）﹣1．【解析】【分析】（1）證明∠CDE＝∠C39。DE和∠ADF＝∠C39。DF，可得∠FDP39。＝∠ADC＝45176。；（2）作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△BAP≌△DAP39。（SAS），得BP＝DP39。，從而得△PAP39。是等腰直角三角形，可得結(jié)論；（3）先作高線C39。G，確定△ACC′的面積中底邊AC為定值2，根據(jù)高的大小確定面積的大小，當C39。在BD上時，C39。G最大，其△ACC′的面積最大，并求此時的面積．【詳解】（1）由對稱得：CD＝C39。D，∠CDE＝∠C39。DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90176。，∴AD＝C39。D，∵F是AC39。的中點，∴DF⊥AC39。，∠ADF＝∠C39。DF，∴∠FDP＝∠FDC39。+∠EDC39。＝∠ADC＝45176。；（2）結(jié)論：BP+DP＝AP，理由是：如圖，作AP39?！虯P交PD的延長線于P39。，∴∠PAP39。＝90176。，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90176。，∴∠DAP39。＝∠BAP，由（1）可知：∠FDP＝45176。∵∠DFP＝90176。∴∠APD＝45176。，∴∠P39。＝45176。，∴AP＝AP39。，在△BAP和△DAP39。中，∵，∴△BAP≌△DAP39。（SAS），∴BP＝DP39。，∴DP+BP＝PP39。＝AP；（3）如圖，過C39。作C39。G⊥AC于G，則S△AC39。C＝AC?C39。G，Rt△ABC中，AB＝BC＝，∴AC＝，即AC為定值，當C39。G最大值，△AC39。C的面積最大，連接BD，交AC于O，當C39。在BD上時，C39。G最大，此時G與O重合，∵CD＝C39。D＝，OD＝AC＝1，∴C39。G＝﹣1，∴S△AC39。C＝．【點睛】本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．3．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F(xiàn)．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當四邊形BEDF是菱形時，求EF的長．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】分析：（1）根據(jù)平行四邊形ABCD的性質(zhì)，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四邊形BEDF的對角線互相平分，進而得出結(jié)論；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的長.詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點，∴∠A=90176。，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，在△BOE和△DOF中， ∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO=FO，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當四邊形BEDF是菱形時，BD⊥EF，設(shè)BE=x，則1