【正文】 20202021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練平行四邊形的綜合題分類一、平行四邊形1．問題發(fā)現(xiàn)：（）如圖①，點為平行四邊形內(nèi)一點，請過點畫一條直線，使其同時平分平行四邊形的面積和周長．問題探究：（）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊、分別在軸、軸正半軸上，點 坐標(biāo)為．已知點為矩形外一點，請過點畫一條同時平分矩形面積和周長的直線，說明理由并求出直線，說明理由并求出直線被矩形截得線段的長度．問題解決：（）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊、分別在軸、軸正半軸上，軸，軸，且，點為五邊形內(nèi)一點．請問：是否存在過點的直線，分別與邊與交于點、且同時平分五邊形的面積和周長?若存在，請求出點和點的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由． 【答案】（1）作圖見解析；（2），；（3），．【解析】試題分析：（1）連接AC、BD交于點O，作直線PO，直線PO將平行四邊形ABCD的面積和周長分別相等的兩部分．（2）連接AC，BD交于點，過、P點的直線將矩形ABCD的面積和周長分為分別相等的兩部分．（3）存在，直線平分五邊形面積、周長．試題解析：（）作圖如下：（）∵，∴設(shè)，，∴，交軸于，交于，．（）存在，直線平分五邊形面積、周長．∵在直線上，∴連交、于點、設(shè)，，∴直線，聯(lián)立，得，∴，．2．如果兩個三角形的兩條邊對應(yīng)相等，夾角互補，那么這兩個三角形叫做互補三角形，如圖2，分別以△ABC的邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE和ACGF，則圖中的兩個三角形就是互補三角形．（1）用尺規(guī)將圖1中的△ABC分割成兩個互補三角形；（2）證明圖2中的△ABC分割成兩個互補三角形；（3）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上再以BC為邊向外作正方形BCHI．①已知三個正方形面積分別是1110，在如圖4的網(wǎng)格中（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）畫出邊長為、的三角形，并計算圖3中六邊形DEFGHI的面積．②若△ABC的面積為2，求以EF、DI、HG的長為邊的三角形面積．【答案】（1）作圖見解析（2）證明見解析（3）①62；②6【解析】試題分析：（1）作BC邊上的中線AD即可．（2）根據(jù)互補三角形的定義證明即可．（3）①畫出圖形后，利用割補法求面積即可．②平移△CHG到AMF，連接EM，IM，則AM=CH=BI，只要證明S△EFM=3S△ABC即可．試題解析：（1）如圖1中，作BC邊上的中線AD，△ABD和△ADC是互補三角形．（2）如圖2中，延長FA到點H，使得AH=AF，連接EH．∵四邊形ABDE，四邊形ACGF是正方形，∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90176。，∴∠EAF+∠BAC=180176。，∴△AEF和△ABC是兩個互補三角形．∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90176。，∴∠EAH=∠BAC，∵AF=AC，∴AH=AB，在△AEH和△ABC中，∴△AEH≌△ABC，∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．（3）①邊長為、的三角形如圖4所示．∵S△ABC=34﹣2﹣﹣3=，∴S六邊形=17+13+10+4=62．②如圖3中，平移△CHG到AMF，連接EM，IM，則AM=CH=BI，設(shè)∠ABC=x，∵AM∥CH，CH⊥BC，∴AM⊥BC，∴∠EAM=90176。+90176。﹣x=180176。﹣x，∵∠DBI=360176。﹣90176。﹣90176。﹣x=180176。﹣x，∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，∴△AEM≌△DBI，∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180176。，∴△DBI和△ABC是互補三角形，∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，∴S△EFM=3S△ABC=6．考點：作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計，三角形面積3．操作：如圖，邊長為2的正方形ABCD，點P在射線BC上，將△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直線與AP所在直線交于點F．探究：（1）如圖1，當(dāng)點P在線段BC上時，①若∠BAP=30176。，求∠AFE的度數(shù)；②若點E恰為線段DF的中點時，請通過運算說明點P會在線段BC的什么位置？并求出此時∠AFD的度數(shù)．歸納：（2）若點P是線段BC上任意一點時（不與B，C重合），∠AFD的度數(shù)是否會發(fā)生變化？試證明你的結(jié)論；猜想：（3）如圖2，若點P在BC邊的延長線上時，∠AFD的度數(shù)是否會發(fā)生變化？試在圖中畫出圖形，并直接寫出結(jié)論．【答案】（1）①45176。；②BC的中點，45176。；（2）不會發(fā)生變化，證明參見解析；（3）不會發(fā)生變化，作圖參見解析.【解析】試題分析：（1）當(dāng)點P在線段BC上時，①由折疊得到一對角相等，再利用正方形性質(zhì)求出∠DAE度數(shù)，在三角形AFD中，利用內(nèi)角和定理求出所求角度數(shù)即可；②由E為DF中點，得到P為BC中點，如圖1，連接BE交AF于點O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF垂直平分BE，進(jìn)而得到三角形BOP與三角形EOG全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到BP=EG=1，得到P為BC中點，進(jìn)而求出所求角度數(shù)即可；（2）若點P是線段BC上任意一點時（不與B，C重合），∠AFD的度數(shù)不會發(fā)生變化，作AG⊥DF于點G，如圖1（a）所示，利用折疊的性質(zhì)及三線合一性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)求出∠1+∠2的度數(shù)，即為∠FAG度數(shù)，即可求出∠F度數(shù)；（3）作出相應(yīng)圖形，如圖2所示，若點P在BC邊的延長線上時，∠AFD的度數(shù)不會發(fā)生變化，理由為：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，設(shè)∠DAG=∠EAG=α，根據(jù)∠FAE為∠BAE一半求出所求角度數(shù)即可．試題解析：（1）①當(dāng)點P在線段BC上時，∵∠EAP=∠BAP=30176。，∴∠DAE=90176。﹣30176。2=30176。，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30176。，∴∠ADE=∠AED=（180176。﹣30176。）247。2=75176。，在△AFD中，∠FAD=30176。+30176。=60176。，∠ADF=75176。，∴∠AFE=180176。﹣60176。﹣75176。=45176。；②點E為DF的中點時，P也為BC的中點，理由如下：如圖1，連接BE交AF于點O，作EG∥AD，得EG∥BC，∵EG∥AD，DE=EF，∴EG=AD=1，∵AB=AE，∴點A在線段BE的垂直平分線上，同理可得點P在線段BE的垂直平分線上，∴AF垂直平分線段BE，∴OB=OE，∵GE∥BP，∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，∴△BOP≌△EOG，∴BP=EG=1，即P為BC的中點，∴∠DAF=90176。﹣∠BAF，∠ADF=45176。+∠BAF，∴∠AFD=180176。﹣∠DAF﹣∠ADF=45176。；（2）∠AFD的度數(shù)不會發(fā)生變化，作AG⊥DF于點G，如圖1（a）所示，在△ADE