備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)-平行四邊形綜合試題及答案(已修改)
2025-03-31 22:12 本頁面
【正文】 備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué) 平行四邊形綜合試題及答案一、平行四邊形1．問題發(fā)現(xiàn)：（）如圖①，點(diǎn)為平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，請過點(diǎn)畫一條直線，使其同時平分平行四邊形的面積和周長．問題探究：（）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊、分別在軸、軸正半軸上，點(diǎn) 坐標(biāo)為．已知點(diǎn)為矩形外一點(diǎn)，請過點(diǎn)畫一條同時平分矩形面積和周長的直線，說明理由并求出直線，說明理由并求出直線被矩形截得線段的長度．問題解決：（）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊、分別在軸、軸正半軸上，軸，軸，且，點(diǎn)為五邊形內(nèi)一點(diǎn)．請問：是否存在過點(diǎn)的直線，分別與邊與交于點(diǎn)、且同時平分五邊形的面積和周長?若存在，請求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由． 【答案】（1）作圖見解析；（2），；（3），．【解析】試題分析：（1）連接AC、BD交于點(diǎn)O，作直線PO，直線PO將平行四邊形ABCD的面積和周長分別相等的兩部分．（2）連接AC，BD交于點(diǎn)，過、P點(diǎn)的直線將矩形ABCD的面積和周長分為分別相等的兩部分．（3）存在，直線平分五邊形面積、周長．試題解析：（）作圖如下：（）∵，∴設(shè)，，∴，交軸于，交于，．（）存在，直線平分五邊形面積、周長．∵在直線上，∴連交、于點(diǎn)、設(shè)，，∴直線，聯(lián)立，得，∴，．2．如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點(diǎn)B落到到B′的位置，AB′與CD交于點(diǎn)E.（1）求證：△AED≌△CEB′（2）若AB = 8，DE = 3，點(diǎn)P為線段AC上任意一點(diǎn)，PG⊥AE于G，PH⊥ + PH的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由折疊的性質(zhì)知，，則由得到；（2）由，可得，又由，即可求得的長，然后在中，利用勾股定理即可求得的長，再過點(diǎn)作于，由角平分線的性質(zhì)，可得，易證得四邊形是矩形，繼而可求得答案.【詳解】（1）四邊形為矩形， ，又 ， ；（2） ， ， ， ，在中，過點(diǎn)作于， ， ， ， ， 、共線， ，四邊形是矩形， ， .【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3．如果兩個三角形的兩條邊對應(yīng)相等，夾角互補(bǔ)，那么這兩個三角形叫做互補(bǔ)三角形，如圖2，分別以△ABC的邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE和ACGF，則圖中的兩個三角形就是互補(bǔ)三角形．（1）用尺規(guī)將圖1中的△ABC分割成兩個互補(bǔ)三角形；（2）證明圖2中的△ABC分割成兩個互補(bǔ)三角形；（3）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上再以BC為邊向外作正方形BCHI．①已知三個正方形面積分別是1110，在如圖4的網(wǎng)格中（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）畫出邊長為、的三角形，并計算圖3中六邊形DEFGHI的面積．②若△ABC的面積為2，求以EF、DI、HG的長為邊的三角形面積．【答案】（1）作圖見解析（2）證明見解析（3）①62；②6【解析】試題分析：（1）作BC邊上的中線AD即可．（2）根據(jù)互補(bǔ)三角形的定義證明即可．（3）①畫出圖形后，利用割補(bǔ)法求面積即可．②平移△CHG到AMF，連接EM，IM，則AM=CH=BI，只要證明S△EFM=3S△ABC即可．試題解析：（1）如圖1中，作BC邊上的中線AD，△ABD和△ADC是互補(bǔ)三角形．（2）如圖2中，延長FA到點(diǎn)H，使得AH=AF，連接EH．∵四邊形ABDE，四邊形ACGF是正方形，∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90176。，∴∠EAF+∠BAC=180176。，∴△AEF和△ABC是兩個互補(bǔ)三角形．∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90176。，∴∠EAH=∠BAC，∵AF=AC，∴AH=AB，在△AEH和△ABC中，∴△AEH≌△ABC，∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．（3）①邊長為、的三角形如圖4所示．∵S△ABC=34﹣2﹣﹣3=，∴S六邊形=17+13+10+4=62．②如圖3中，平移△CHG到AMF，連接EM，IM，則AM=CH=BI，設(shè)∠ABC=x，∵AM∥CH，CH⊥BC，∴AM⊥BC，∴∠EAM=90176。+90176。﹣x=180176。﹣x，∵∠DBI=360176。﹣90176。﹣90176。﹣x=180176。﹣x，∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，∴△AEM≌△DBI，∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180176。，∴△DBI和△ABC是互補(bǔ)三角形，∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，∴S△EFM=3S△ABC=6．考點(diǎn)：作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計，三角形面積4．如圖，四邊形ABCD中，∠BCD=∠D=90176。，=1，AB=2.（1）設(shè)BC=x，CD=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2）當(dāng)∠B=70176。時，求∠AEC的度數(shù)；（3）當(dāng)△ACE為直角三角形時，求邊BC的長.【答案】（1）；（2）∠AEC=105176。；（3）邊BC的長為2或.【解析】試題分析：（1）過A作AH⊥BC于H，得到四邊形ADCH為矩形．在△BAH中，由勾股定理即可得出結(jié)論．（2）取CD中點(diǎn)T，連接TE，則TE是梯形中位線，得ET∥AD，ET⊥CD，∠AET=∠B=70176。．又AD=AE=1，得到∠AED=∠ADE=∠DET=35176。．由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35176。，即可得到結(jié)論． （3）分兩種情況討論：①當(dāng)∠AEC=90176。時，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30176。，解△ABH即可得到結(jié)論．②當(dāng)∠CAE=90176。時，易知△CDA∽△BCA，由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)論．試題解析：解：（1）過A作AH⊥BC于H．由∠D=∠BCD=90176。，得四邊形ADCH為矩形．在△BAH中，
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