倒數(shù)和微分-文庫吧
2025-07-08 10:53 本頁面
【正文】 既依賴于 , 也與 有關(guān) . Δx x()f x I在 上的微分記為的 可微函數(shù) . 返回 后頁 前頁 d ( ) d , . ( 4 )y f x x x I???(4) 式的寫法會帶來不少好處 , 首先可以把導(dǎo)數(shù)看 所以導(dǎo)數(shù)也稱為 微商 . 更多的好處將體現(xiàn)在后面 習(xí)慣上喜歡把 寫成 ,于是 (3) 式可改寫成 Δx dxdd x x??這相當(dāng)于 的情形 , 此時顯然有 yx?d ( ) ,dy fxx ?? (5) 積分學(xué)部分中 . 成 函數(shù)的微分與自變量的微分之商 , 即 返回 后頁 前頁 d ( s in ) c o s d 。x x x?d ( ) ln d .xxa a a x?1d ( ) d 。x x x??? ??例 1 返回 后頁 前頁 2( ) ( ) d ( ) ( ) d ( )3. d 。() ()u x v x u x u x v xvx vx?? ??????4 . d ( ( ) ) ( ) ( ) d , ( ) .f g x f u g x x u g x???? 其中由導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系 ,可方便得出微分運(yùn)算法則 : 1 . d ( ( ) ( ) ) d ( ) d ( ) 。u x v x u x v x? ? ?2 . d ( ( ) ( ) ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) 。u x v x v x u x u x v x??d ( ) d ,u g x x??由于 故運(yùn)算法則 4 又可以寫成 二、微分的運(yùn)算法則 返回 后頁 前頁 d ( ) d .y f u u??2 2 2 2d d ( ln c o s ) d ( ln ) d ( c o s )y x x x x x x? ? ? ?解 2 2 2 2ln d ( ) d ( ln ) s in d ( )x x x x x x? ? ?2( 2 ln 1 2 s in ) d .x x x x? ? ?它在形式上與 (4)式完全一樣 , 不管 是自變量還 u例 2 求 的微分 . 22ln c o sy x x x??立 . 這個性質(zhì)稱為 “一階微分形式不變性” . 是中間變量 ( 另一個變量的可微函數(shù) ) , 上式都成 返回 后頁 前頁 2 2 2 2d ( c o s ) s in d ( ) 2 s in dx x x x x x? ? ? ?這里在的計算中 , 用了一階微分形式不變性 . 例 3 求 的微分 . 123e ??? xxy解 3 2 1 3d e d ( 2 1 )xxy x x??? ? ?32 2 1( 3 2 ) e d .xxxx ????返回 后頁 前頁 三、高階微分 22( ) ( Δ ) ( ) ( d ) .f x x f x x?? ????或?qū)懽? 22d ( ) d ,y f x x??? 稱為 f 的 二階微分 . d ( d ) d ( ( ) Δ)y f x x?? () Δ Δ ( ) d ( Δ )f x x x f x x?? ?? ?則當(dāng) f 二階可導(dǎo)時 , dy 關(guān)于 x 的微分為 若將一階微分 d ( ) Δy f x x?? 僅看成是 的函數(shù) , x注 由于 與 x 無關(guān) , 因此 x 的二階微分 Δx d( Δ)x ?2 2 2 2d ( d ) d 0 , d ( d ) , d ( ) 2 dx x x x x x x? ? ? ?它與 三者各不相同 , 不可混淆 . 返回 后頁 前頁 1 ( 1 ) 1 ( )d d ( d ) d ( ( ) d ) ( ) d .n n n n n ny y f x x f x x? ? ?? ? ?22d ( ) d 。 ( 6 )y f x x???當(dāng) x 是中間變量 ( ( ) , ( ) )y f x x t???時 , 二階微分 依次下去 , 可由 階微分求 n 階微分 : 1n?對 的 n 階微分均稱為高階微分 . 高階微分不 2n?具有形式不變性 . 當(dāng) x 是自變量時 , 的二 ()y f x?階微分是 為 返回 后頁 前頁 例 4 22( ) s in , ( ) , d .y f x x x t t y?? ? ? ?設(shè)求解法一 2 ( ) ( ) , s in ,x t y f x y t?? ? ?先將 代入 得22( ) d ( ) d . ( 7 )f x x f x x?? ???.0d 2 ?x22d ( ) dx
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