迎戰(zhàn)20xx年高考數(shù)學(xué)-函數(shù)的奇偶性與周期公式推導(dǎo)方法-文庫(kù)吧
2025-07-03 20:29 本頁(yè)面
【正文】 （ 4）∵函數(shù) f（ x）的定義域是（－∞， 0）∪（ 0， +∞），并 且當(dāng) x＞ 0 時(shí)，－ x＜ 0， ∴ f（－ x） =（－ x）［ 1－（－ x）］ =－ x（ 1+x） =－ f（ x）（ x＞ 0） . 當(dāng) x＜ 0 時(shí)，－ x＞ 0，∴ f（－ x） =－ x（ 1－ x） =－ f（ x）（ x＜ 0） . 故函數(shù) f（ x）為奇函數(shù) . 評(píng)述：（ 1）分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段證明 .（ 2）判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡(jiǎn)函數(shù)解析式 . ②證明抽象函數(shù)的奇偶性 例 已知 f（ x）是定義在 R 上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的 a， b∈ R 都滿足： f（ a b） =af（ b） +bf（ a）． 求 f（ 0）， f（ 1）的值； （ 2）判斷 f（ x）的奇偶性，并證明你 的結(jié)論． 分析：應(yīng)用公式 f（ a b） =af（ b） +bf（ a），取 a、 b 的一些特殊的值進(jìn)行計(jì)算． 解：（ 1） f（ 0） =f（ 0 0） =0 f（ 0） +0 f（ 0） =0； 由 f（ 1） =f（ 1 1） =1 f（ 1） +1 f（ 1）， 得 f（ 1） =0． （ 2） f（ x）是奇函數(shù)． 證明：因?yàn)?f（ 1） =f［（－ 1） 2 ］ =－ f（－ 1）－ f（－ 1） =0， 所以 f（－ 1） =0， f（－ x） =f（－ 1 x） =－ f（ x） +xf（－ 1） =－ f（ x）． 因此， f（ x）為奇函數(shù)． 3 點(diǎn)評(píng)：研究抽象函數(shù)的奇偶性，應(yīng)緊緊圍繞題目所給的抽象函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究．如果覺(jué)得所給抽象函數(shù)的性質(zhì)符合某些已知函數(shù)（如二次函數(shù)等）的性質(zhì)，可以用已知函數(shù)替代抽象函數(shù)進(jìn)行思考，探索求解思路。 例 定義在區(qū)間 )1,1(? 上的函數(shù) )(xf 滿足：對(duì)任意的 )1,1(, ??yx ，都有( ) ( ) ( )1xyf x f y f xy??? ?.求證： ()fx為奇函數(shù)； [思路點(diǎn)撥 ]欲證明 ()fx為奇函數(shù)，就要證明 ( ) ( )f x f x? ? ? ，但這是抽象函數(shù)，應(yīng)設(shè)法充分利用條件“對(duì)任意的 )1,1(, ??yx ，都有 ( ) ( ) ( )1xyf x f y f xy??? ?”中的 yx,
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