【正文】 a P 100 P1P b 配制則是 a 克 P1%的溶液，和 b 克 P2%的溶液配制。 可列以下十字相乘： P1 PP2 a P P2 P1P b 注：有些題不用十字相乘法更簡(jiǎn)單。 例：有含鹽 15%的鹽水 20 千 克，要使鹽水含鹽 20%,需加鹽多少千克？ 析： 15 80 20 20 100 5 b 80/5=20/b 得 b= 例：從裝滿 100g 濃度為 80％的鹽水杯中倒出 40g 鹽水后再倒入清水將杯倒?jié)M，這樣反復(fù)三次后，杯中鹽水的濃度是（） % % % % 析：開(kāi)始時(shí)，溶質(zhì)為 80 克。第一次倒出 40g，再加清水倒?jié)M，倒出了鹽 80*40%，此時(shí)還剩鹽 80*60%。同理，第二次，剩 80*60%*60%。第三次，乘 80*60%^3=，即濃度為 % 特例：有甲乙兩杯含鹽率不同的鹽水，甲杯鹽水重１２０克，乙杯鹽水重８０克．現(xiàn)在從兩杯倒出等量的鹽水，分別交換倒入兩杯中．這樣兩杯新鹽水的含鹽率相同．從每杯中倒出的鹽水是多少克？ 析：設(shè)甲濃度 P1,乙濃度 P2?；旌虾蟮南嗟葷舛葹? a 則對(duì)于甲 P1 PP2 120a P P2 P1P a 對(duì)于乙 P2 PP1 80a P P1 P2P a 則 120a a : = : a 80a 得 a=120*80 / 120+80 一般地，對(duì)于質(zhì)量為 m1,m2 的溶液，也有 a=m1*m2 / (m1+m2) d. 路程問(wèn)題 關(guān)于相遇問(wèn)題和追擊問(wèn)題的綜合題目的分析 一條街上 ，一個(gè)騎車(chē)人和一個(gè)步行人相向而行，騎車(chē)人的速度是步行人的 3 倍，每個(gè)隔 10 分鐘有一輛公交車(chē)超過(guò)一個(gè)行人。每個(gè)隔 20 分鐘有一輛公交車(chē)超過(guò)一個(gè)騎車(chē)人，如果公交車(chē)從始發(fā)站每隔相同的時(shí)間發(fā)一輛車(chē)，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公交車(chē)？ A 10 B 8 C 6 D 4 我們知道這個(gè)題目出現(xiàn)了 2 個(gè)情況，就是 （ 1）汽車(chē)與騎自行車(chē)的人的追擊問(wèn)題， （ 2）汽車(chē)與行人的追擊問(wèn)題 追擊 問(wèn)題中的一個(gè)顯著的公式 就是 路程差＝速度差時(shí)間 我們知道這里的 2 個(gè)追擊情況的路程差都是 汽車(chē)的間隔發(fā)車(chē)距離。是相等的。因?yàn)槲覀円蟮氖顷P(guān)于時(shí)間 所以可以將汽車(chē)的間隔距離看作單位 1. 那么根據(jù)追擊公式 (1) (V 汽車(chē)－ V 步行 )=1/10 (2) (V 汽車(chē)－ 3V 步行 )=1/20 (1) 3－ (2)=2V汽車(chē)＝ 3/101/20 很快速的就能解得 V汽車(chē)＝ 1/8 答案顯而易見(jiàn)是 8 再看一個(gè)例題：小明在商場(chǎng)的一樓要乘扶梯到二樓。扶梯方向向上，小芳則從二樓到一樓。已知小明的速度是小芳的 2 倍。小明用 了 2 分鐘到達(dá)二樓，小芳用了 8 分鐘到達(dá)一樓。如果我們把一個(gè)箱子放在一樓的第一個(gè)階梯上 問(wèn)多長(zhǎng)時(shí)間可以到達(dá)二樓？ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 跟上面一題一樣。 這個(gè)題目也是 2 個(gè)行程問(wèn)題的比較 （ 1）小明跟扶梯之間是方向相同 (1) (V 小明＋ V 扶梯 )=1/2 （ 2） 小芳跟扶梯的方向相反 (2) (V 小芳－ V 扶梯 )=1/8 (1)2 (2)=3V 扶梯＝ 1/4 可見(jiàn)扶梯速度是 1/12 答案就顯而易見(jiàn)了。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 總 結(jié)：在多個(gè)行程問(wèn)題模型存在的時(shí)候。我們利用 其速度差，速度和的關(guān)系將未知的變量抵消?？梢院茌p松的一步求得結(jié)果！ 習(xí)題： 電扶梯由下往上勻速行駛 .男孩以每秒 2 個(gè)梯級(jí)的速度沿電扶梯往上走 ,40 秒種可達(dá)電扶梯頂部 .一女孩以每 2 秒 3 個(gè)梯級(jí)的速度往上走 ,50 秒可以達(dá)到頂部 .則靜止時(shí)電扶梯的梯級(jí)數(shù)為 A 80 B 75 C 100 D 120 某人沿電車(chē)線路行走 ,每 12 分鐘有一輛電車(chē)從后面追上 ,每 4 分鐘有一輛電車(chē)迎面而來(lái) .2 個(gè)起點(diǎn)站 的發(fā)車(chē)間隔相同 ,那么這個(gè)間隔是多少 ???? 張先生向商店訂購(gòu)某種商品 80 件，每件定價(jià) 100 元。張先生向商店經(jīng)理說(shuō)：“如果你肯減價(jià)，每件減 1 元，我就多訂購(gòu)四件”。商店經(jīng)理算了一下，如果減價(jià) 5%，由于張先生多訂購(gòu)，仍可得與原來(lái)一樣多的利潤(rùn)。則這種商品每件的成本是（ ） A． 75 元 B． 80 元 C． 85 元 D． 90 元 [晚行解析 ] 一般算法 80*10080X=(100* 95%X)*(80+100* 5/100 *4) x=75 用時(shí) 90 秒 兩大缺點(diǎn)： 一是列方 程要將常識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)公式 二是計(jì)算費(fèi)時(shí)，還要保證正確 結(jié)果是算起來(lái)不難，但如用時(shí)多了，可能得不償失 [速算法 ] 減價(jià) 5 元，少賺 400 多賣(mài) 20 件，當(dāng)然要多賺 400 才能補(bǔ)回來(lái) 減價(jià)后第件賺 20 元，成本價(jià) 75 元 用時(shí) 50 秒 三大優(yōu)點(diǎn)： 一是無(wú)需常識(shí)與公式的轉(zhuǎn)化 二是計(jì)算簡(jiǎn)單 三是在較難計(jì)算時(shí)也能通過(guò)排除法鎖定正解 e. 流水問(wèn)題 我們知道，船順?biāo)叫袝r(shí)，船一方面按自己本身的速度即船速在水面上行進(jìn)，同時(shí)整個(gè)水面又按水流動(dòng)的速度在前進(jìn)，因此船順?biāo)叫械膶?shí)際速度（簡(jiǎn)稱順?biāo)俣龋┚偷扔诖俸退俚暮?，即? 順?biāo)俣?=船速 +水速 同理：逆水速度 =船速 水速 可推知：船速 =（順?biāo)俣?+逆水速度） /2；水速 =（順?biāo)俣?逆水速度） /2 【經(jīng)典例題】 一艘輪船從河的上游甲港順流到達(dá)下游的丙港，然后調(diào)頭逆流向上到達(dá)中游的乙港，共用了 12 小時(shí)。已知這條輪船的順流速度是逆流速度的 2 倍，水流速度是每小時(shí) 2千米，從甲港到乙港相距 18 千米。則甲、丙兩港間的距離為（ ） 千米 千米 千米 千米 解析：【答案】 A。順流速度－逆流速度 =2水流 速度，又順流速度 =2逆流速度，可知順流速度 =4水流速度 =8 千米 /時(shí)，逆流速度 =2水流速度 =4 千米 /時(shí)。 方法 方程法：設(shè)甲、丙兩港間距離為 X 千米，可列方程 X247。 8+（ X－ 18）247。 4=12 解得 X=44。 方法 往返乙、丙所用時(shí)間 =1218247。 8=39/4，從乙到丙順?biāo)脮r(shí)間是逆水的1/2，順?biāo)叫袝r(shí)間 =39/4 1/3=13/4，則乙丙距離 =13/4 8=26，故所求距離 =18+26=44。 f. 工程問(wèn)題 相遇問(wèn)題： 【知識(shí)要點(diǎn)】 甲從 A 地到 B 地，乙從 B 地到 A 地，然后甲，乙在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是兩人共同走了 A、 B 之間這段路程，如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么 A， B 兩地的路程 =（甲的速度 +乙的速度）相遇時(shí)間 =速度和相遇時(shí)間 相遇問(wèn)題的核心是“速度和”問(wèn)題。 【經(jīng)典例題】 a、甲、乙兩車(chē)從 A、 B 兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，如果甲車(chē)提前一段時(shí)間出發(fā)，那么兩車(chē)將提前 30 分相遇。已知甲車(chē)速度是 60 千米 /時(shí)，乙車(chē)速度是 40 千米 /時(shí)，那么，甲車(chē)提前了多少分出發(fā)（ ）分鐘。 A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 解析：【答案】 C,本題涉及相遇問(wèn)題。 方法 方程法：設(shè)兩車(chē)一起走完 A、 B 兩地所用時(shí)間為 x,甲提前了 y 時(shí)，則有 , (60+40)x=60[y+(x30)]+40(x30), y=50 方法 甲提前走的路程 =甲、乙 共同走 30 分鐘的路程，那么提前走的時(shí)間為，30（ 60+40） /60=50 b、甲、乙二人同時(shí)從相距 60 千米的兩地同時(shí)相向而行， 6 小時(shí)相遇。如果二人每小時(shí)各多行 1 千米，那么他們相遇的地點(diǎn)距前次相遇點(diǎn) 1 千米。又知甲的速度比乙的速度快，乙原來(lái)的速度為（ ） 千米 /時(shí) 千米 /時(shí) 千米 /時(shí) 千米 /時(shí) 解析：【答案】 B。原來(lái)兩人速度和為 60247。 6=10 千米 /時(shí)，現(xiàn)在兩人相遇時(shí)間為60247。（ 10+2） =5 小時(shí)，采用方程法：設(shè)原來(lái)乙的速度為 X 千米 /時(shí)，因乙的速度較慢，則5（ X+1） =6X+1，解得 X=4。注意：在解決這種問(wèn)題的時(shí)候一定要先判斷誰(shuí)的速度快。 方法 提速后 5 小時(shí)比原來(lái)的 5 小時(shí)多走了 5 千米，比原來(lái)的 6 小時(shí)多走了 1千米，可知原來(lái) 1 小時(shí)剛好走了 51=4 千米。 ： 【知識(shí)要點(diǎn)】 甲從 A 地出發(fā)，乙從 B 地出發(fā)相向而行，兩人在 C 地相遇，相遇后甲繼續(xù)走到 B地后返回，乙繼續(xù)走到 A 地后返回，第二次在 D 地相遇。則有 第二次相遇時(shí)走的路程是第一次相遇時(shí)走的路程的兩倍。 【經(jīng)典例題】 甲乙兩車(chē)同時(shí)從 A、 B 兩地相向而行，在距 B 地 54 千米處相遇，它們各自到達(dá)對(duì)方車(chē)站后立即返回，在距 A 地 42 千米處相遇。請(qǐng)問(wèn) A、 B 兩地相距多少千米？ 解析：【答案】 A。 方法 方程法：設(shè)兩地相距 x 千米，由題可 知，第一次相遇兩車(chē)共走了 x，第二次相遇兩車(chē)共走了 2x，由于速度不變，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分別為第一次相遇的二倍，即 54 2=x54+42，得出 x=120。 方法 乙第二次相遇所走路程是第一次的二倍，則有 54 242+54=120。 ： 【知識(shí)要點(diǎn)】 有甲，乙同時(shí)行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走的慢的走在前，走得快的過(guò)一段時(shí)間就能追上。這就產(chǎn)生了“追及問(wèn)題”。實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是要計(jì)算兩 人都的速度差。如果假設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時(shí)間（追及時(shí)間）內(nèi)： 追及路程 =甲走的路程 乙走的路程 =甲的速度追及時(shí)間 乙的速度追及時(shí)間 =速度差追及時(shí)間 核心就是“速度差”的問(wèn)題。 【經(jīng)典例題】 一列快車(chē)長(zhǎng) 170 米，每秒行 23 米，一列慢車(chē)長(zhǎng) 130 米，每秒行 18 米。快車(chē)從后面追上慢車(chē)到超過(guò)慢車(chē)，共需（ ）秒鐘 解析：【答案】 A。設(shè)需要 x 秒快車(chē)超過(guò)慢車(chē)，則（ 2318） x=170+130，得出 x=60秒。這里速度差比較明顯。 【題型特征】 核心公式：工作效率工作時(shí)間 =工作量（常設(shè)為“ 1”）。 【經(jīng)典例題】 一篇文章，甲乙兩人合譯，需 10 小時(shí)完成，乙丙合譯，需 12 小時(shí)完成，現(xiàn)先由甲丙合譯 4 小時(shí)，剩下再由乙獨(dú)譯，需 12 小時(shí)完成，求乙單獨(dú)翻