函數(shù)單調(diào)性定義證明-文庫吧
2024-11-04 01:31 本頁面
【正文】 ）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)．2．求證：函數(shù)f（x）=4x+在（0，）上遞減，在[，+∞）上遞增． 【解答】證明：設(shè)0＜x1＜x2＜，則f（x1）﹣f（x2）=（4x1+）﹣（4x2+）=4（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（），又由0＜x1＜x2＜，則（x1﹣x2）＜0，（4x1x2﹣9）＜0，（x1x2）＞0，則f（x1）﹣f（x2）＞0，則函數(shù)f（x）在（0，）上遞減，設(shè)≤x3＜x4，同理可得：f（x3）﹣f（x4）=（x3﹣x4）（又由≤x3＜x4，第10頁（共23頁）），則（x3﹣x4）＜0，（4x3x4﹣9）＞0，（x1x2）＞0，則f（x3）﹣f（x4）＜0，則函數(shù)f（x）在[，+∞）上遞增．3．證明f（x）=在定義域?yàn)閇0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．【解答】證明：設(shè)x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，則：=∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2； ∴∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在定義域[0，+∞）上是增函數(shù)．4．應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)f（x）=x+在區(qū)間（0，2）上是減函數(shù)． 【解答】證明：任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=﹣（=；；因?yàn)?＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＜4，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）=x+在（0，2）上為減函數(shù)．5．證明函數(shù)f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函數(shù)． 【解答】解：設(shè)x1＜x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）=2x1﹣﹣2x2+=（x1﹣x2）（2+∵x1＜x2＜0，），第11頁（共23頁）∴x1﹣x2＜0，2+＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即：f（x1）＜f（x2），∴函數(shù)f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函數(shù)．6．證明：函數(shù)f（x）=x2+3在[0，+∞）上的單調(diào)性． 【解答】解：任取0≤x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）==（x1+x2）（x1﹣x2）因?yàn)?≤x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，故原式f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以原函數(shù)在[0，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)．7．證明：函數(shù)y=在（﹣1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．=1﹣在在區(qū)間（﹣1，+∞），【解答】解：∵函數(shù)f（x）=可以設(shè)﹣1＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=1﹣∵﹣1＜x1＜x2＜0，﹣1+=∴x1+1＞0，1+x2＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上為增函數(shù)；8．求證：f（x）=在（﹣∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞增．第12頁（共23頁）【解答】證明：設(shè)x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=﹣∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，﹣（﹣）=﹣=，∴若x1＜x2＜0，則x1x2＞0，此時(shí)f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．若0＜x1＜x2，則x1x2＞0，此時(shí)f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增． 即f（x）=9．用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)y=【解答】解：∵函數(shù)y=可以設(shè)0＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上為減函數(shù)；10．已知函數(shù)f（x）=x+．（Ⅰ）用定義證明：f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)；（Ⅱ）若＞0對(duì)任意x∈[4，5]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．﹣=＞0，在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)． 在（﹣∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞增．在區(qū)間（0，+∞），【解答】（Ⅰ）證明：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=，∵2≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞4，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）=x+在[2，+∞）上為增函數(shù)；（Ⅱ）解：∵＞0對(duì)任意x∈[4，5]恒成立，第13頁（共23頁）∴x﹣a＞0對(duì)任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜x對(duì)任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜4．11．證明：函數(shù)f（x）=在x∈（1，+∞）單調(diào)遞減．【解答】證明：設(shè)x1＞x2＞1，則：；∵x1＞x2＞1；∴x2﹣x1＜0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0； ∴即f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在x∈（1，+∞）單調(diào)遞減．12．求證f（x）=x+的（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞]上是增函數(shù)． 【解答】證明：①在（0，1）內(nèi)任取x1，x2，令x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=（=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣；）﹣（）），∵x1，x2∈（0，1），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=x+在（0，1）上是減函數(shù)． ②在[1，+∞）內(nèi)任取x1，x2，令x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）第14頁（共23頁）=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣），∵x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）=x+在[1，+∞]上是增函數(shù)．13．判斷并證明f（x）=【解答】解：f（x）=證明如下：在（﹣1，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=﹣=，在（﹣1，+∞）上的單調(diào)性． 在（﹣1，+∞）上的單調(diào)遞減．∵x1，x2∈（﹣1+∞），x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=14．判斷并證明函數(shù)f（x）=x+在區(qū)間（0，2）上的單調(diào)性． 【解答】解：任意取x1，x2∈（0，2）且0＜x1＜x2＜2 f（x1）﹣f（x2）=x1+∵0＜x1＜x2＜2∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4，即x1x2﹣4＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．第15頁（共23頁）在（﹣1，+∞）上的單調(diào)遞減．﹣x2﹣=（x1﹣x2）+﹣=（x1﹣x2），所以f（x）在（0，2）上是單調(diào)減函數(shù)．15．求函數(shù)f（x）=的單調(diào)增區(qū)間．=1﹣的單調(diào)遞增區(qū)間為【解答】解：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）=（﹣∞，0），（0，+∞）故答案為：（﹣∞，0），（0，+∞）16．求證：函數(shù)f（x）=﹣﹣1在區(qū)間（﹣∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)．【解答】證明：設(shè)x1＜x2＜0，則：；∵x1＜x2＜0；∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0； ∴；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)．17．求函數(shù)的定義域．【解答】解：根據(jù)題意，得，解可得，故函數(shù)的定義域?yàn)?≤x＜3和3＜x＜5．18．求函數(shù)的定義域．第16頁（共23頁）【解答】解：由故函數(shù)定義域?yàn)閧x|x＜}．19．根據(jù)下列條件分別求出函數(shù)f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+（2）f（x）+2f（）=3x． 【解答】解：（1）f（x+）=x2+=（x+）2﹣2，即f（x）=x2﹣2，（x＞2或x＜﹣2）（2）∵f（x）+2f（）=3x，∴f（）+2f（x）=，消去f（）得f（x）=﹣x．20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x+2…①，用﹣x代替x，得：3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x+2…②； ①3﹣②2得：5f（x）=（6x+6）﹣（﹣4x+4）=10x+2，∴f（x）=2x+．21．求下列函數(shù)的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求
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