【正文】 maH m aHacH m cHcHmH HHeEHeEHeE ??????????????????????????? 10, (22) 從這個等式，結(jié)合式子 (18) 能得到一個 Hc maH m aHac HHeEH ??????????????? 10 , (23) 結(jié)合式子 10)，式子 (23)可以寫成 dSQSRHSH dQmaHac ??? , (24) 這里 ???????? HmaHaHa eES , (25) ? ?QaQcQmQ SSeS ???????? 0 , (26) ???????? 10Sd . (27) (13)， (24)，區(qū)分 (3)，我們有 dQRQH dQDRQa ??? ??? 2 , (28) 這里 ? ? ? ?R QaR QcQaHacQcRQ KEKSKE ??? ??? ? 1 , (29) ? ? ? ?QaQcQmQcaHacQcQ SK c REKSKE ??? ???? ? 1, (30) ? ? dcQcaHacQcd SKEKSKE 1????? , (31) 應(yīng)該注意的是， EQcKcSHa +Ka與 Eqs相反。 (29)– (31)，將在題 。用 (28)來替代 (24)，可以表示 為 ? ? ? ?dSSQSRSRQSH dHadQmQHaDRQHac ??? ????? 2 . (32) 結(jié)合 (11)， (28)和 (32)，我們有 dSSQSRSRQSHddHadmQHaDRQRQHa ?????? ???????? ????????? ? ???? ? 2 dYQYRQY dQDRQ ??? 2 , (33) 這里 ??????? RQRQHaRQ SY ?? , ?????? ?? Q QmQHaQ SRSY ?? , ?????? ?? d dHadd SSY ? ?. 用 (33)替代 (13)，得出 ? ? dKYQKYRQYIKQ dQDRQ ????? 2? = CdBQRAQ D ??2 , (34) 這里 ? ?RQYIKA ??? , QKYB? , dKYC? . 題 . 反證 EQcKcSHa +Ka 存在。 證明 . 我們接下來給分支編號：從 1到 l=N nc +1 列舉分支，第一個分支與風(fēng)扇所在分支連接，從 l 到 N列舉樹枝，其中風(fēng)扇所在分支是最后一個。包括風(fēng)扇所在分支的環(huán)和節(jié)點(diǎn)的方程可以表示為 010 ?????????????????macH maH mcHaHcHHHeeEE , (35) 010 ??????????????????macQm aQm cQaQcQeeEE . (36) 可以顯示為 [3， p. 493]， ? ?TQ m cTQcH m aHa eEeE ????????? 10 , (37) 或者 TQcHmaHa EeE ???????? . 從 (19)和 (37)得出， EQ是滿秩矩陣。因此 EQK可以被奇異值 [4]因式分解為 ?? VUKEQ 21 . (38) ?????????????000000021????? , 0?i? , i=1,…, nc2. (39) 結(jié)合 (38)和 (39)，我們可以得出 TTTTTT UUUVVUKEE ? ?? ? ?? . 所以我們有 det ? ? 0?TQccQ EKE , (40) 替代 (17)和 (19)入 (40)，我們得到 det ? ? 0?? aTQccQc KEKE , (41) 結(jié)合 (25)， (19)， (37)和 (41)，我們有下式： det? ? ???????? ????????? KaEeKEKEKEHaH m acQcaTQccQc de t =det ? ? 0?? aTQccQc KEKE . (42) 因此反證出 EQcKcSHa +Ka 存在。 . 網(wǎng)絡(luò)的最小化模型 早先我們建立了秩為 n的礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)的全模型。系統(tǒng)的狀態(tài)不是獨(dú)立的，因此一個需要尋找最小的表示法。在這個部分，我們將建立一個礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)的最小模型。 定義 ), ... ,(di a g 11112 ????? ncNncNcD Q , (43) ? ? ? ? ? ? ? ? ),.. .,(di a g 222 cNcNaD Q ????? , (44) ? ?TTaTc RRR ? , (45) (44) 式中的 Qc 應(yīng) 該 被 理 解 為 式 子 (21) 的 形 式 。 題 . 有適當(dāng)?shù)拇笮〉木仃?Ac、 Aca， BC 和 Cc，以便表式礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的最小模型 dCQBRQARQAQ cccaaDcaccDcc ???? 22? , (46) ? ? dQcRRQH dQcacaDR Q accDR Q ca ???? ???? 22 , (47) 這里 Qc 是狀態(tài)， Rc、 Ra 和 d 是控制輸入量， Ha 是系統(tǒng)排出量。 證明 . 首先我們應(yīng)該提及的是， SQa =0，隨著 (19)和 (26)。并且，從 (30)得出 0?Qa? 。 用 (44)代替 (32)，我們得出 ? ? ? ? ? ? ddSSQSRSRSRQSH dHadcQcmQcHaacaDR QaHaccDR QcHac ???? ?????? 22 . (48) 從 (13)，我們得出 ccc2cDcc HKRQKQ ???? , (49) 現(xiàn)在用 (48)替代 (49)， ? ? ? ? acaDR Q aHacccDQcRHaccc RSKRQSKKQ 22 ?? ????? + ? ? ? ?dSSKQSRSK dHadccQcmQcHac ?? ??? = dCQBRQARQA cccaaDcaccDc ??? 22 , (50) 這 里 R Q cHaccc SKKA ???? , (51) RQaHacca SKA ?? , (52) ? ?QcmQcHacc SRSKB ?? ? , (53) ? ?dHadcc SSKC ??? . (54) 從 (21)， (28)和 (30)，我們有 ? ? dQcRRQH dQcacaDR Q accDR Q ca ???? ???? 22 . (55) 在風(fēng)扇所在分支中的壓降可以表示為 cQmm QeRdH mc?? . (56) 3. 設(shè)計分支中的調(diào)節(jié)變量 在這個部分，我們用 Rc、 Ra和 d作為調(diào)節(jié)變量。輸入量 Ra和 d作為輔助輸入 (因而下標(biāo)為 ―a‖)。因為我們在下面部分就會看見，他們是不必要的，即系統(tǒng)可以順利地獨(dú)立地控制 Rc，但是輔助的輸入量提供更加有效的控制。我們選擇限制定律如下 ? ? ? ?cecrccDcc QHKQKR ??? ? 12 , (57) ? ? ? ?aearacDaa QHKQKR ??? ? 12 , (58) mmmr QRHd ?? , (59) 這里 Hcr、 Hmr和 Har分別為 Hc、 Hm和 Ha的參考 (平衡 )價值， Qce =Qc – Qcr， Qae =Qa Qar， Qcr和 Qar分別為 Qc和 Qa的參考 (平衡 )價值，而且是常數(shù)，這個以后再定義。很明顯， Hr 和 Qr 需要滿足礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)的 Kirchho’s 法則。 結(jié)合式子 (57) – (58) ， 我 們 有 以 下 結(jié) 果 。 定理 (14)和 (15)描述的系統(tǒng)，根據(jù)控制定律 (57) – (58)，得出以下結(jié)果： (i) ? ? ? ?TTarTcrr HHHtH ?? 。 (ii) ? ?TTarTcrr ?? 是穩(wěn)定的指數(shù) 。 (iii) 假設(shè) ? ? 00 ?iQ , 0?Qir 而且 iririi QRKmin?? ，然后 ?? 0?tRi , 0??t ,這里 i=1,…, n. 證明 . (i)區(qū)分式子 (3)，我們有 0?QEQ? . (60) 用 (16)替代 (13)， (43)和 (44)入 (60)，我們得到 ? ? 022 ????? aaaaDaccccDcQc HKRQKHKRQKE . (61) 用 (23)替代 Eq。 (61)，可以寫成 ? ? 022 ?????? aaaaDadcaHacccDcQc HKRQKHmSKHSKRQKE . (62) 重新整理此式，我們有 aamdcQcHacQcaaDaccDcQc HKHSKEHaSKERQKRQKE ???? 22 . (63) 最后，把 (57)和 (58)代入 (63)，我們得到以下結(jié)果： aamdcQcHacQcaracrcQcaceQc HKHSKEHaSKEHKHKEeE ?????? ?? . (64) 從氣流流量的 Kirchho’s法則 (3)我們能得出 EQc