高中數(shù)學(xué)必修五《海倫公式探究》-文庫吧
2025-10-12 20:46 本頁面
【正文】 =∠3 ∴△EAB～△ECDa+b+c+d,則S2四邊形SDEABfbb2e∴== = a+ef+cdS四邊形ABCDd2b2解得： e =b(ab+cd)b(ad+bc)① f = ②d2b2d2b2d2b2由于S四邊形ABCD =S△EABb2b(d2+b2)將①，②跟b =代入公式變形④，得：22db所以，海倫公式的推廣得證。三、海倫公式的推廣的應(yīng)用海倫公式的推廣在實際解題中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在有關(guān)圓內(nèi)接四邊形的各種綜合題中，直接運用海倫公式的推廣往往事半功倍。例題：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O中，SABCD =求：四邊形可能為等腰梯形。解：設(shè)BC = x 由海倫公式的推廣，得：33,AD = 1,AB = 1, CD = (1+1+2x)(1+1+x2)(2+x+11)(2+x+11)= 44(4－x)(2＋x)2 =27 x4－12x2－16x＋27 = 0 x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)= 0(x－1)(x3＋x2－11x－27)= 0 x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0 當(dāng)x = 1時，AD = BC = 1 ∴ 四邊形可能為等腰梯形。第二篇：海倫公式海倫公式與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》）中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為下述推導(dǎo)[1]cosC =(a^2+b^2c^2）/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√（1cos^2 C)=1/2*ab*√[1(a^2+b^2c^2）^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2(a^2+b^2c^2）^2]=1/4*√[（2ab+a^2+b^2c^2）（2aba^2b^2+c^2）]=1/4*√[(a+b)^2c^2][c^2(ab)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)]設(shè)p=(a+b+c)/2則p=(a+b+c)/2,pa=(a+b+c)/2,pb=(ab+c)/2,pc=(a+bc)/2,上式=√[(a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)/16]=√[p(pa)(pb)(pc)]所以，三角形ABC面積S=√[p(pa)(pb)(pc)]證明⑵中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年也提出了“三斜求積術(shù)”。它與海倫公式基本一樣，其實在《九章算術(shù)》中，已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由于土地的面積并不是三角形，要找出它來并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據(jù)三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，中國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”。秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。“術(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實”，作1作為“隅”，開平方后即得面積。所謂“實”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p為“隅”，q為“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4{a^2*c^2[(a^2+c^2b^2）/2 ]^2}當(dāng)P=1時，△ 2=q,△=√1/4{a^2*c^2[(a^2+c^2b^2）/2 ]^2}因式分解得△ ^2=1/4[4a^2c^2(a^2+c^2b^2）^2]=1/4[(c+a)^2b ^2][b^ 2(ca)^ 2]=1/4(c+a+b)(c+ab)(b+ca)(bc+a)=1/4(c+a+b)(a+b+c2b)(b+c+a2a)(b+a+c2c)=1/4[2p（2p2a）（2p2b）（2p2c)]=p(pa)(pb)(pc)由此可得：S△=√[p(pa)(pb)(pc)]其中p=1/2(a+b+c)這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。S=√1/4{a^2*c^2[(a^2+c^2b^2）/2 ]^2}.其中cb，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運算。如下題：已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積這里用海倫公式的推廣S圓內(nèi)接四邊形= 根號下（pa)(pb)(pc)(pd)（其中p為周長一半，a,b,c,d，為4邊）代入解得s=8√ 3證明⑶在△ABC中∠A、∠B、∠C對應(yīng)邊a、b、cO為其內(nèi)切圓圓心，r為其內(nèi)切圓半徑，p為其半周長有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）=r∵r=(pa)tanA/2=(pb)tanB/2=(pc)tanC/2∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）=[(pa)+(pb)+(p
合同協(xié)議相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1