【正文】 ................. 24 4 前言 數(shù)學(xué)不等式的研究首先從歐洲國(guó)家興起 , 直到 17 世紀(jì)以后，不等式的理論才逐漸發(fā)展起來(lái)，成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個(gè)重要組成部分。 自從著名數(shù)學(xué)家 H. Hardy,J. E. Little wood 和 G. Pl ya 的著作 Inequalities 由 Cambridge University Press 于 1934 年出版以來(lái) , 數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的研究正式登場(chǎng) , 成為一門新興的數(shù)學(xué)學(xué)科 , 從此不等式不再是一些零星散亂的、孤立的公式綜合 , 它已發(fā) 展成為一套系統(tǒng)的科學(xué)理論。 20世紀(jì) 80 年代以來(lái)在中國(guó)大地上出現(xiàn)了研究不等式熱潮。 楊路等教授對(duì)幾何不 等式研究的一系列開(kāi)創(chuàng)性工作，將我國(guó)幾何不等式的研究推向高潮；在代數(shù)不等式方面，王挽瀾教授對(duì) Fan ky 不等式的深人研究達(dá)到國(guó)際領(lǐng)先水平 。祁鋒教授 和他 所領(lǐng)導(dǎo)的研究群體在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系統(tǒng)的前沿研究成果；對(duì)分析不等式，胡克教授于 1981 年發(fā)表在《中國(guó)科學(xué)》上的論文《一個(gè)不等式及其若干應(yīng)用》針對(duì) Holder 不等式的缺陷提出一個(gè)全新的不等式，被美國(guó)數(shù)學(xué)評(píng)論稱之為 一個(gè)杰出的非凡的新的不等式，現(xiàn)在稱之為胡克 (HK)不等式。胡克教授對(duì)這個(gè)不等式及其應(yīng)用作了系統(tǒng)而深刻的研究。 20世紀(jì) 90 年代以 來(lái)，我國(guó)一大批學(xué)者如楊必成，徐利治教授等對(duì)不等式及其 證明方法與 研究 方面 取得了舉世矚目的成果。由于這些結(jié)果在理論和實(shí)際運(yùn)用方面都有重 大 意義，引起一系列廣泛研究，當(dāng)中取得各式各樣的進(jìn)展，成果在眾多報(bào)刊雜志上被發(fā)表。 目前我國(guó)關(guān)于數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的研究也有較豐富的 發(fā)展 成果。例如匡繼昌先生的專著《常用不等式》一書由于供不應(yīng)求 。 第二本較有影響的專著是王松桂和賈忠貞合著的《矩陣論中不等式》。 除此之外 ,國(guó)內(nèi)還有一個(gè)不等式研究小組比較活躍 , 主辦一個(gè)《不等式研究通訊》的內(nèi)部交流刊物 , 數(shù)學(xué)家楊路先生任顧 問(wèn)。 不等式不但是證明在自然學(xué)科和人文社會(huì)學(xué)科以至我們的日常生活中的應(yīng)用都在不斷的深化和發(fā)展，而且是研究高等數(shù)學(xué)不可或缺的一項(xiàng)重要內(nèi)容，無(wú)論是在證明還是計(jì)算中 經(jīng)常用到的且非常重要的工具，同時(shí)也是數(shù)學(xué)分析中主要研究的問(wèn)題之一，可以說(shuō)不等式的研究對(duì)數(shù)學(xué)分析發(fā)展起著巨大推動(dòng)作用。 不等式的研究主要包括以下四個(gè)方面，推廣和改進(jìn)現(xiàn)有的不等式，建立新的不等式，擴(kuò)大不等式的應(yīng)用范圍，探索不等式的證明方法。本文主要探討幾個(gè)著名不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)他們的聯(lián)系探索不等式的證明方法。本人通過(guò)收集整理資料發(fā)現(xiàn)，由于不等 式分布范圍之廣，大多學(xué)科都有涉獵，但是很少有給出以我們現(xiàn)階段所學(xué)的這些著名不等式為文章的主要脈絡(luò)或是零散的給出個(gè)別著名不等式，展開(kāi)挖掘它們的內(nèi)在聯(lián)系，基于這個(gè)前提，因此撰寫了本篇論文。 回顧數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程， 不等式的證明問(wèn)題，由于題型多變、方法多樣、技巧性強(qiáng)，在證明不等式前，往往需要依據(jù)題設(shè)和特征不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語(yǔ)言特點(diǎn)，通過(guò)揭示問(wèn)題的本質(zhì)特征，使得難解性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可解性問(wèn)題 。因此熟練掌握不等式證明的幾種方法并能靈活運(yùn)用 常用的證明方法，對(duì)以后的學(xué)習(xí)有著非常重要的意義。 5 1 凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 凸函的定義及性質(zhì) 定義 1 設(shè) ??xf 是定義在閉區(qū)間 ? ?ba, 上的函數(shù)，若對(duì)任意 x ， y ? ?ba,? 和任意 ? ?1,0?? ，有 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?yfxfyxf ???? ????? 11 則稱 f 為 ? ?ba, 上的凸函數(shù) .反之，如果有 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?yfxfyxf ???? ????? 11 則稱 f 為 ? ?ba, 上的凹函數(shù) . 性質(zhì) 1 設(shè) ??xf 為區(qū)間 I上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在 I上 ??xf 為凸（凹）函數(shù)的充分必要條件 0)( ??? xf （ Ixxf ???? ,0)( ） 例 1 A， B， C為△ ABC 的三個(gè)角，證明： 323s ins ins in ??? CBA 證 設(shè) xxf sin)( ? ，所以有 0s in)( ????? xxf 所以 xsin 是上凸函數(shù)． 若 CBA , 是△ ABC 的三個(gè)角，則有 )(31)(31)(313 CfBfAfCBAf ????????? ?? 即 CBACBA s in31s in31s in313s in ????? 因?yàn)? ???? CBA 所以 233s ins in31s in31s in31 ???? ?CBA 323s ins ins in ??? CBA 6 同理可以證明 23c o sc o sc o s ??? CBA 例 2 證明不等式 ? ? 3 cbacba abccba ??? 其中 a， b， c均為正數(shù)。 ??3 方法一 證 設(shè) .0,ln)( ?? xxxxf 由 )(xf 的一階和二階導(dǎo)數(shù) xxfxxf 1)(,1ln)( ????? 可見(jiàn)， 不等式有時(shí)為嚴(yán)格凸函數(shù)。依在 e n s e n0ln)( Jxxxxf ?? ))()()((31)3( cfbfafcbaf ????? 從而 )lnlnln(313ln3 ccbbaacbacba ??????? 即 cbacba cbacba ??? ??)3( 又因 33 cbaabc ??? ，所以 ? ? 3 cbacba abccba ??? 這 個(gè)題目還有一種較為簡(jiǎn)單的做法就是比較法 方法二 證 由于不等式關(guān)于 ,abc的對(duì)稱性，不妨設(shè) 0??? cba , 因?yàn)? ? ? .13333?????????????????????????cacbbacbacbacacbbaa b c cba 故原不等式得證。 我們將定義拓展為一般情形，即得到 （詹森（ Jensen ）不等式） 若 ??fx在 ? ?,ab 為凸函數(shù)，則對(duì)于任意? ?baxi ,? , 0i?? ? ?1,2, ,in? ,1 1n ii ?? ??,有 ? ?11nni i i iiif x f x????????????? 例 3 已知 0?ix ),3,2,1( ni ?? ， 2?n ， 121 ????? nxxx 7 求證： nnnnn nnxxx )1()11()11()11(21 ?????????. 證 設(shè) nxxf )11()( ??，易知 時(shí)為凹函數(shù)，在 0)( ?xxf 所以由琴聲不等式可得 )()()( 21 nxfxfxf ???? )( 21 n xxnf n???? = nnnnnf )1()1( ?? 即 nnnnn nnxxx )1()11()11()11(21 ?????????成立， 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取到nxxx ??? 21 . 由 Jensen 不等式推導(dǎo) holder 不等式的相關(guān)證明 定義 有，設(shè) ,),2,1(,a i nibi ?? 111 1 1 1n n npqpqi i i iiia b a b? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 111,1,1 ???? qpqp其中 我們把這樣的不等式稱作 holder 不等式 . 證法一 令 ? ? lnf x x? ，則 ? ?21 0fx x?? ? ? ?，所以 ??fx在 ? ?0,?? 為 凹 函數(shù) ， 則對(duì) 于任 意? ?, 0 1, 2 , ,iix y i n?? , 111pq??由 Jensen 不等式可知 11ln ln lniiiixy xyp q p q??? ? ????? 8 從而可得 11pqiiiixyxypq?? 令 11,pqiiiinniiabxy?????? 則 11111111111niinnpqiiiiii nnpqpqiiiiabxyxypqab?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? 整理后即得到 holder 不等式 111 1 1 1n n npqpqi i i iiia b a b? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 證法二 ??5 qp bxaxxqpqpb ????????? 21 ,ln,111,1,1,0,0a 令為凸函數(shù)由上式證明可知設(shè) )l n ()l n ()l n (,1,1 2211221121 xxxxqp ?????? ??????? 代入，則有 )ln (1)ln (1)ln ( qpqp bqapqbpa ????? 1111111111, , ,( ) ( )11( ) )pqkknnpqpqiiiipqk k k knnnnpqp