【正文】 .................................................. 16 由柯西不等式求解有關(guān)三角函數(shù)不等式問題 .................................................. 17 等式推導(dǎo)均值不等式的部分相關(guān)證明 ........................................... 18 3 均值不等式的應(yīng)用 .............................................................................................................. 19 .......................................................................................... 19 由均值不等式推導(dǎo) Jensen 不等式的個(gè)例 ...................................................... 22 致謝 ............................................................................................................................................... 23 參考文獻(xiàn) ..................................................................................................................................... 24 4 前言 數(shù)學(xué)不等式的研究首先從歐洲國家興起 , 直到 17 世紀(jì)以后，不等式的理論才逐漸發(fā)展起來，成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個(gè)重要組成部分。在此之后我們還將通過柯西不等式推導(dǎo)著名的均值不等式，從均值不等式回到 Jensen 不等式的相關(guān)內(nèi)容。 本科畢業(yè) 設(shè)計(jì)（論文 ） ( 20xx 屆 ) 題 目： 不等式的證明及其運(yùn)用 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級： 09 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名： 王乃澤 學(xué) 號： 09205013247 指導(dǎo)教師： 歐建光 職 稱： 副教授 完成日期： 20xx 年 4 月 20 日 1 不等式證明及其運(yùn)用 王乃澤 （溫州大學(xué) 甌江 學(xué)院，浙江溫州， 325027） 摘要 ：不等式證明及其應(yīng)用在數(shù)學(xué)中有著不可或缺作用和地位，從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)，不等式一直同我們形影不離，它的應(yīng)用范圍非常廣泛，是數(shù)學(xué)教學(xué)容重要組成部分。而柯西不等式是本篇論文討論的重點(diǎn)內(nèi)容，我們將著重討論柯西不等式的幾種主要表現(xiàn)形式及相關(guān)的證明，應(yīng)用舉例等等。 Inequality。 楊路等教授對幾何不 等式研究的一系列開創(chuàng)性工作，將我國幾何不等式的研究推向高潮；在代數(shù)不等式方面，王挽瀾教授對 Fan ky 不等式的深人研究達(dá)到國際領(lǐng)先水平 。由于這些結(jié)果在理論和實(shí)際運(yùn)用方面都有重 大 意義，引起一系列廣泛研究，當(dāng)中取得各式各樣的進(jìn)展，成果在眾多報(bào)刊雜志上被發(fā)表。 除此之外 ,國內(nèi)還有一個(gè)不等式研究小組比較活躍 , 主辦一個(gè)《不等式研究通訊》的內(nèi)部交流刊物 , 數(shù)學(xué)家楊路先生任顧 問。本人通過收集整理資料發(fā)現(xiàn)，由于不等 式分布范圍之廣，大多學(xué)科都有涉獵，但是很少有給出以我們現(xiàn)階段所學(xué)的這些著名不等式為文章的主要脈絡(luò)或是零散的給出個(gè)別著名不等式，展開挖掘它們的內(nèi)在聯(lián)系，基于這個(gè)前提，因此撰寫了本篇論文。 ??3 方法一 證 設(shè) .0,ln)( ?? xxxxf 由 )(xf 的一階和二階導(dǎo)數(shù) xxfxxf 1)(,1ln)( ????? 可見， 不等式有時(shí)為嚴(yán)格凸函數(shù)。由余弦定理，有 222 2 c o sP Q O P O Q O P O Q ?? ? ? ? 將 OP ， OQ ， PQ 的代入，得到2 2 2 2c o sa c b da b c d? ?? ? ? ? 而 20 cos 1???，故有 222 2 2 2()c o s 1( ) ( )a c b da b c d? ????? 10 即 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a b c d a c b d? ? ? ? 這就是柯西不等式的二維形式。 反過來 ，如果等號成立，由以上證明過程可以看出，或者 線性相關(guān)，也就是說或者 ????? ???? ??????? ,0),( ),(,0 ??。及 623221,332 22 ???? yxykxk 113,114 ?? yx解得，當(dāng) 112,113,114 取最大值yxpyx ????. 例 2 .,c o ss i n 是常數(shù)的極值，其中求函數(shù) baxbxay ?? 解 有柯西不等式有 22222222 )c o s) ( s i n()c o ss i n( baxxbaxbxay ??????? 所以有 2222 bayba ????? .c o ss i n)(a r c t a nc o ss i n2222 babaxbxayzkkbaxb xa x?????????，極大值有極小值函數(shù)時(shí)，時(shí)，即當(dāng) ? 柯西不等式推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式 ??7 已知點(diǎn) ? ?0 0 0,xy? 為直線外的一點(diǎn)及直線 :l 0x y C? ?? ? ? ? ?220? ?? ? 求點(diǎn) 0p 到直線 l 的距離。所以當(dāng) 2?n 時(shí)，命題成立 . 假設(shè) kn? 時(shí)命題成立，現(xiàn)在來證 1??kn 時(shí)成立 . 當(dāng) 11 121 ? ??????? ?k aaaaAkn kk?時(shí)，令 ，則分子分母同乘以 12?kk 得 19 1 121 ? ????? ?k aaaaA kk? = k k aaaakk aaaak kkkk 2 1 ))(1(1 ))(1( 121121 ? ??????? ????? ?? ?? k Akaaaa kk2 )1(121 ??????? ?? 2)1(121 k Akak aaa kk ????????? 21121kAAAakaaakkk?? ??? ??? ?? ?????????? 21121 k kkk n Aaaaa ?? ???? k kkk n Aaaaa 1121 ?? ???? 即 11212 ?? ??? kkkk AaaaaA ， 則 ., 1211 121 時(shí)，等號成立當(dāng)且僅當(dāng) ?? ? ????? kk kk aaaaaaaA . 所以有 1??kn ，成立 . 3 均值不等式的應(yīng)用 均 值不等式的應(yīng)用舉例 在運(yùn)用均值不等式前，我們應(yīng)該要知道均值不等式的所謂一“一正，二定，三相等”的原則，即變量都是正數(shù)，其次平方和或積為正值，最后含變數(shù)的個(gè)項(xiàng)均相等，取得最值。））和（（）分別求（且設(shè) 22 )1(111,1,0,0 bbaabbaababa ?????????? 這道題往往容易犯這樣的錯(cuò)誤， 錯(cuò)誤解法： .4)1(121,21的最小值為）（ bbaabbaa??????? 分析 這里之所以犯這樣的錯(cuò)誤是因?yàn)樘睾雎粤艘阎獥l件和等號成立的條件。239。在完成論文的過程中，無論是在論文的編寫、資料的收集和開題報(bào)告的書寫等方面，歐老師都給了我很大的幫助。 最后，向在百忙之中抽出時(shí)間評審本文的各位專家表示最衷心的感謝！ 24 參考文獻(xiàn) [1]徐鴻遲 ， 柯西不等式的微小改動(dòng) [J]， 20xx，（ 8）， 9095. [2]南山，柯西不等式與排序不等式 [M]，第一版，湖南教育出版社， 20xx,1115 [3]華東 師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 ,數(shù)學(xué)分析上） [M]， （第三版 ,高等教育出版社 ,20xx. [4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 ,數(shù)學(xué)分析（下） [M],第三版 ,高等教育出版社 ,20xx. [5]張?zhí)斓?，韓振來，數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題精解（上） [M]，第三版，天津科學(xué)技術(shù)出版社， 20xx. [6]葉立軍，初等數(shù)學(xué)研究 [M]，第一版，華東師范大學(xué)出版社， 20xx. [7]呂 林根，解析幾何 [M]，第四版，高等教育出版社 ， 20xx， 3638. [8]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組，高等代數(shù) [M]，第 三版，高等教育出版社， 20xx. [9]陳文燈，高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo) [M]， 北京理工大學(xué)出版社 , 1997 ， 8486. [10]徐圖平，柯西不等式的兩個(gè)推論及其應(yīng)用 [J]， 20xx，（ 8）， 7071 [11]張?zhí)斓?，韓振來 ，數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題精解（下），第三版，天津科學(xué)技術(shù)出版社， 20xx.