人教a版高中數(shù)學必修二412《圓的一般方程》word教案-文庫吧
2025-10-30 11:32 本頁面
【正文】 x+Ey+F=0 所表示的曲線一定是圓呢 ?這就是我們本堂課的內(nèi)容 ,教師板書課題 :圓的一般方程 . 思路 ：求過三點 A (0,0),B(1,1),C(4,2)的圓的方程 .利用圓的標準方程解決此問題顯然有些麻煩 ,用直線的知識解決又有其簡單的局限性 ,那么這個問題有沒有其他的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式 .教師板書課題 :圓的一般方程 . （二） 推進新課 、 新知探究 、 提出問題 ① 前一章我們研究 直線方程用的什么順序和方法 ? ② 這里我們研究圓的方程是否也能類比研究直線方程的順序和方法呢 ? ③ 給出式子 x2+y2+Dx+Ey+F=0,請你利用配方法化成不含 x和 y的一次項的式子 . ④ 把式子 (x－ a)2＋ (y－ b)2=r2 與 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方后的式子比較 ,得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件 . ⑤ 對圓的標準方程與圓的一般方程作一比較 ,看各自有什么特點 ? 討論結(jié)果： ① 以前學習過直線 ,我們首先學習了直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式 ,最后學習一般式 .大家知道 ,我們認識一般的東西 ,總是從特殊入手 .如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式 (點斜式、兩點式、 …) 展開整理而得到的 . ② 我們想求圓的一般方程 ,可仿照直線方程試一試！我們已經(jīng)學習了圓的標準方程 ,把標準形式展開 ,整理得到 ,也是從特殊到一般 . ③ 把式子 x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得 (x+ 2D )2+(y+2E )2= 4 422 FED ?? . ④ (x－ a)2＋ (y－ b)2=r2中 ,r＞ 0時表示圓 ,r=0時表示點 (a,b),r＜ 0時不表示任何圖形 . 因此式子 (x+ 2D )2+(y+ 2E )2= 4 422 FED ?? . (ⅰ )當 D2+E24F＞ 0 時 ,表示以 (2D ,2E )為圓心 ,21 FED 422 ?? 為半徑的圓； (ⅱ )當 D2+E24F=0時 ,方程只有實數(shù)解 x= 2D ,y=2E ,即只表示一個點 ( 2D ,2E )。 (ⅲ )當 D2+E24F＜ 0時 ,方程沒有實數(shù)解 ,因而它不表示任何圖形 . 綜上所述 ,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示的曲線不一定是圓 ,由此得到圓的方程都能寫成 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的形式 ,但方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示的曲線不一定是圓 ,只有當D2+E24F＞ 0時 ,它表示的曲線才是圓 .因此 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是 D2+E24F＞ 0. 我們把形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的方程稱為圓的一般方程 . ⑤ 圓的一般方程形式上的特點 : x2和 y2的系數(shù)相同 ,不等于 xy 這樣的二次項 . 圓的一般方程中有三個待定的系數(shù) D、 E、 F,因此只要求出這三個系數(shù) ,圓的方程就確定了 . 與圓的標準方程相比較 ,它是一種特殊的二元二次方程 ,代數(shù)特征明顯 ,圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小 ,幾何特征較明顯 . （三） 應 用示例 思路 1 例 1 判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是 ,請求出圓的圓心及半徑 . (1)4x2+4y24x+12y+9=0。 (2)4x2+4y24x+12y+11=0. 解 :(1)由 4x2+4y24x+12y+9=0,得 D=1,E=3,F=49 , 而 D2+E24F=1+99=1＞ 0, 所以方程 4x2+4y24x+12y+9=0表示圓的方程 ,其圓心坐標為 (21 ,23 ),半徑為 21 ； (2)由 4x2+4y24x+12y+11=0,得 D=1,E=3,F= 411 ,D2+E24F=1+911=1＜ 0, 所以方程 4x2+4y24x+12y+11=0不表示圓的方程 . 點評 :對于形如 Ax2+By2+Dx+Ey+F=0 的方程判斷其方程是否表示圓 ,要化為x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式 ,再
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