用f-展開法求解廣義kdv-mkdv方程畢業(yè)論文-文庫吧
2025-06-09 19:34 本頁面
【正文】 球化學(xué)起重要作用 。 在 非線性波方程 中 ，非常重要 的現(xiàn)象是 擴(kuò)散、 耗散、 色散、 對(duì)流 和 反應(yīng)。在許多 科學(xué)索引文獻(xiàn)中提到的孤立子問題 ,比 如 呼吸型孤立子 ,扭結(jié)型孤立子 , 尖峰型孤立子，緊孤立 子 和 尖孤波 [1]是現(xiàn) 代非線性數(shù)學(xué) 在 物理 研究 領(lǐng)域 中 的主要 研究 內(nèi)容 。 目前 盡管 已經(jīng)有了多種方法可以 解決 非線性波方程 , 如 雙線性變換法 , 貝克隆變換 ， 逆散射方法的轉(zhuǎn)變 , sinecosine 方法 ， 齊次平衡方法 和 tanh 方法 。但是，由于 非線性波方程 本身 的 復(fù)雜性 ，導(dǎo)致目前 沒有統(tǒng)一的方法去 尋 找這些方程 的 所有解。 這就是擺在我們面前的新課題，解決這些新課題 需要我們不斷的去尋找新的方法和新的技巧 。 另外，精確解的物理特性 非常重要 ,這 一重要性體現(xiàn)在它 們 能夠?yàn)槲覀冊诜蔷€性波方程的物理 研究 領(lǐng)域提供多方面的洞察力 和靈感 。 標(biāo)準(zhǔn)的 KdV 方程 0,t x xxxu a u u u? ? ? （ 11） 第一章 引言 2 與 K(n,n)方程 ( ) ( ) 0 , 1nnt x x x xu a u u n? ? ? ? （ 12） 目前 已被廣泛 而 全面 得到研究 [23]。 通過平衡 KdV 方程中的 高階 色散效應(yīng) 項(xiàng) xxxu與 非線性 項(xiàng) xuu ， 研究人員獲得了方程（ 11）的孤立子 (soliton)解，簡稱孤子解。然而 ， 在 K(n,n)方程 （ 12） 中 , 非線性色散 項(xiàng) ()n xxxu 與 非線性 項(xiàng) ()nxu 之 間的相互作用 產(chǎn)生 的 孤波 具有緊致的特性 ,通常 人們把 具有這一特性 的 解叫做緊孤子（ Compactons）解。 一般地， 非線性波孤 立 子的特征 被 定義 為 [4]： （ 1） .局部 的波 形 是穩(wěn)定 ,它們 相互碰撞 時(shí) 保持他們的 特性 。 反過來又意味著孤子 是 具有這樣的性質(zhì) （彈性碰撞） 的粒子。 （ 2） .局部 的波形 ,傳播 時(shí) 不改變其性質(zhì) (如 形狀、速度等 )。 因?yàn)?緊孤子 被證明 彈性碰 撞消失 在一個(gè)有限的 核心區(qū)域。 所以 人們觀察到緊孤子 結(jié)構(gòu) 有 兩 個(gè) 重要的特 點(diǎn) [5]： （ 1） .緊孤子 的寬度是獨(dú)立的振幅。 （ 2） .緊孤子 的特點(diǎn)是 不像孤立波那樣有長長的 尾巴 （即長長的漸進(jìn)于某條直線曲線） 。 國內(nèi) 外大量 的研究工作已 表明緊孤子（ Compactons）有 實(shí)際的科學(xué)應(yīng)用 ,如慣性聚變 ， 裂變的液體滴 (核子物理學(xué) ),預(yù)先形成 的 水動(dòng)力模型 [67]等等 。 現(xiàn)代 許多 數(shù)學(xué)和 物理 學(xué)研究領(lǐng)域 ,名詞后面帶后綴 on，一般 被 用來表示粒子性質(zhì) [8]， 例如 孤子 （ soliton） 有粒子 、 光子 （ photon） 、 聲子 （ phonon） 和 尖孤子（ peakon） 的 性質(zhì)。 也 因?yàn)檫@個(gè)原因 ,緊致的 孤 立 波 ,簡 稱 緊 孤 子（ Compacton） 。需 更加深入 透徹 地 了解緊 孤 子（ Compacton） 性能 和 物理結(jié)構(gòu) [9]。 正 如 廣義 KdVmKdV 方程 ： .0)( 2 ????? xxxxppt UUUUU ??? （ 13） 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 3 （ 其中， 0?p ,? 、 ? 、 ? 都是常數(shù)。）出現(xiàn)在大量的物理應(yīng)用領(lǐng)域 ,曾經(jīng)被許多人員 研究過 [1011],(以及這些文獻(xiàn)中所引用的文獻(xiàn) )。 現(xiàn)在考慮一種較為特殊的情形，即在方程 （ 13） 中，讓 np 2? ，其中 n 為非零 自然數(shù)。便可以得到方程 （ 13） 的一種新形式 ，如下： .0)( 42 ????? xxxxnnt UUUUU ??? （ 14） 本文的主要 工作就是 在 np 2? 這種較為特殊情形下， 用 F展開法 尋求方程（ 14） 的精確行波解 。 研究內(nèi)容 本 論文主要 分為四 個(gè)章節(jié)來 撰 寫 第一章 主要寫研究此問題的背景 和現(xiàn)狀 ，研究方程的由來及 撰寫本 論文的大概 情況 ； 第二章 主要介紹論文用到 研究方法； 第三章 論文研究的全過程 ； 第四章 小結(jié) 。 第二章 研究方法 4 第二章 研究方法 F展開法 目前 F展開法 的 應(yīng)用 ,可視為 雙曲正切函數(shù) ， Jacobi 橢圓函數(shù) 以及 三角函數(shù)展開法的概括。其 研究的 方法步驟如下： 一般 考慮非線性偏微分方程 (PDE) ( , , , , , , ...) 0 ,t x tt x t x xf u u u u u u ? （ 21） f 為其變元的多項(xiàng)式 ,其中包含有非線性項(xiàng)和高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。 第一步 .設(shè) (21)的行波解為 : ),()(),( ???? ??? txtxu （ 22） 其中 ? 表示 波速 ,將 (22)代入 (21)則 將 (21)化為 ()u? 的常微分方程（ ODE） ( , , ,...) u u u? ?? ? （ 23） 第二步 .設(shè) ()u? 可表示為 ()F? 的有限冪級(jí)數(shù) : ( ) ( ), 0 ,in iininu a F a???????? （ 24） 這里 ),1,( nnnia i ????? 為待定常數(shù) ,一般 )(?F 滿足一階 常微分方程 （ ODE） : 2 4 2 ,F P F Q F R? ??? （ 25） 對(duì) (25)式求導(dǎo)得 : PF QF?? ?? （ 26） 其中 ,PQR 是待定常數(shù) ,正整數(shù) n 由 齊次平 衡 具體支配地位的 最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)與非線性最高次方項(xiàng) 來 確定。 第三步 .將 (24)代入 (25),利用 (25),(26)可將 (23)式變成 )(?F 的多項(xiàng)式。 令 )(?F 的各次項(xiàng)冪的系數(shù)為零 ,從而可以 得 ( , 1, , )ia i n n n? ? ? ? 和 c 的代數(shù)方程組。 第四步 .求 上述代數(shù)方程組 ， 可借助 Maple 軟件求解 , ( , 1, , )ia i n n n? ? ? ? 和? 可由 ,PQR 來表示。將這些結(jié)果代入 (25)式得 PDE(21)的一個(gè)行波解的一般形式。 本論文是建立在一個(gè)變形的輔助方程 ： ),( 2422 RQFPFFF nn ???? （ 27）之上 ,通過 對(duì)（ 27）式 湊微分并令 ,2 GF n ? （ 28） 可得如下方程： 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 5 ?ndRQGPGG dG 22 ??? . (29) 在（ 29）式中記 : .2 RQGPGX ??? （ 210） ， .4 2QPRq ?? （ 211） 則方程（ 29）的積分情況如下表 表一 (積分表 ) 當(dāng) 0?R 時(shí) ? ???????? ????RQG RXRXG dG 2ln1 當(dāng) 0?R 時(shí) ? ???????? ???? ? qG RQGRXG dG 2s in1 1或者 ? ???????? ??? ? qG RQGRXG dG 2s in1 1 當(dāng) 0?R 時(shí) ? ??QGXXGdG 2
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