【正文】 出發(fā)，利用半逆解法，假設(shè)材料的所有電彈性常數(shù)沿厚度方向按同一函數(shù)規(guī)律變化，研 究功能梯度壓電懸臂梁在上表面受均布荷載、自由端受集中力和集中力矩聯(lián)合作用問(wèn)題的力電耦合場(chǎng)，求得了相應(yīng)的應(yīng)力和位移。 給出數(shù)值算例，假設(shè)梯度函數(shù)為指數(shù)形式，驗(yàn)證功能梯度壓電材料懸臂梁簡(jiǎn)化理論，分析不同的梯度變化對(duì)功能梯度壓電梁靜力響應(yīng)的影響。 畢業(yè)論文 第 7 頁(yè) 共 35 頁(yè) 2 功能梯度材料梁、板、殼結(jié)構(gòu)的分析方法 梁、板、殼以及它們的組合是目前功能梯度材料的常見(jiàn)結(jié)構(gòu)形式， 分析方法主要以簡(jiǎn)化的結(jié)構(gòu)理論為主，也有一些是從三維方程出發(fā)進(jìn)行直接求解 。 由于以往針對(duì)均勻材料建立的經(jīng)典梁、板、殼結(jié)構(gòu)理論并不能完全適用于功能梯度材 料，因此必須發(fā)展針對(duì)功能梯度材料特點(diǎn)的梁、板、殼結(jié)構(gòu)分析方法，尋找功能梯度材料梁、板、殼結(jié)構(gòu)的解析解、半解析解以及簡(jiǎn)化理論解，下面將分別闡述 。 解析解 對(duì)于功能梯度材料梁、板、殼結(jié)構(gòu)，由于控制方程通常為變系數(shù)的微分方程，其邊值問(wèn)題的解析求解難度非常大，因此在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，解析解非常少 。 解析解的價(jià)值在于它們能為其他理論模型或計(jì)算方案提供假設(shè)的依據(jù)和驗(yàn)證的考題 。 Sankar 針對(duì)材料常數(shù)沿厚度為指數(shù)分布的正交各向異性功能梯度梁受任意垂直載荷作用的情形推導(dǎo)得到了彈性力學(xué)精確解 。 稍后 Sanka 等給出了考慮溫度效 應(yīng)的一個(gè)精確解 。 這些工作都假設(shè)材料參數(shù)沿厚度以同一指數(shù)變化 。 對(duì)于沿厚度非指數(shù)變化的情況，還沒(méi)有彈性力學(xué)精確解的報(bào)道 。 在解析解方面， Lekhnitskii 在其名著中給出了正交各向異性懸臂梁端部受剪 、彎的解，但其后近 40 年幾 乎沒(méi)有任何進(jìn)展 。 最近 ，仲政等和丁皓江等系統(tǒng)發(fā)展了考慮力、熱、電、磁等作用的各向異性功能梯度材料直梁二維問(wèn)題的廣義應(yīng)力函數(shù)解法，獲得的解析解適用于各材料參數(shù)沿厚度方向的任意梯度分布情況，可在 SaintVenant 意義上考慮簡(jiǎn)支、固支等不同的位移約束邊界條件和集中力、彎矩等端部載荷作用 。 這一方法將 Lekhnitskii 在各向異性平面彈性問(wèn)題上的研究推進(jìn)了一大步，豐富了非均勻材料力學(xué)的求解手段，具有重要的科學(xué)意義 。Huang 等進(jìn)一步研究了功能梯度壓電執(zhí)行器的響應(yīng)特性，給出了解析表達(dá)式并與一維梁理論、有限元和實(shí)驗(yàn)結(jié)果等進(jìn)行了比較，說(shuō)明了解析解的有效性及一維梁理論解的不足之處 。 Jiang 等則發(fā)展了基于調(diào)和函數(shù)表示的通解解法，求得了密度功能梯度材料懸臂梁的兩個(gè)解析解 。 智能功能梯度結(jié)構(gòu)的響應(yīng)特性近 年得到了很多研究者的關(guān)注 。 已有的研究大都假設(shè)壓電層和功能梯度材料主體結(jié)構(gòu)之問(wèn)粘結(jié)完好 。 計(jì)算發(fā)現(xiàn)，由于界 面的弱化，使得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的靜動(dòng)力特性發(fā)生了一定程度的改變，從而可能導(dǎo)致作動(dòng)器或者傳感器性能的變化，必須加以重視 [6]。 陳偉球等將辛空間 的彈性力學(xué)解法推廣應(yīng)用到功能梯度材料結(jié)構(gòu)的解析研究中，提畢業(yè)論文 第 8 頁(yè) 共 35 頁(yè) 出了移位 Hamilton 矩陣的概念， 并且 發(fā)現(xiàn)材料的功能梯度屬性將改變有關(guān)特征函數(shù)的形式，對(duì)不同的 特征函數(shù)建立了 辛正交關(guān)系，并提出了穩(wěn)定的數(shù)值計(jì)算方法 。 最近，他們又將工作進(jìn)一步推廣到功能梯度壓電材料，詳細(xì)研究了非均勻參數(shù)對(duì) SaintVenant 解的影響 。 在軸對(duì)稱載荷作用下的圓 /環(huán)板的彎曲問(wèn)題是彈性力學(xué)的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題 。 Han 等假設(shè)彈性模量沿徑向按冪律分布，考察了功能梯度旋轉(zhuǎn)圓盤的一維軸對(duì)稱變形問(wèn)題 。 Li等將 Ding 等提出的直梁的分析方法進(jìn)一步推廣應(yīng)用于功能梯度彈性圓板 。 對(duì)于橫觀各向同性功能梯度圓板的純彎曲問(wèn)題，首次給出了解析形式的彈性力學(xué)解 。 與直梁?jiǎn)栴}類似，這一方法可以考察材料常數(shù)沿厚度方向的任意變化以及圓周邊界上的簡(jiǎn)支或固支邊界條件 。 Li 等通過(guò)在位移表達(dá)式中引入適當(dāng)?shù)膶?duì)數(shù)函數(shù)項(xiàng)，獲得了內(nèi)外圓周邊界條件任意組合時(shí)在均布載荷作用下橫觀各向同性功能梯度圓環(huán)板的解析解，該解可以考慮材料常數(shù)沿厚度方向的任意分布 。 對(duì)于均勻 電勢(shì)作用下的功能梯度圓板和均布載荷作用下的功能梯度壓電壓磁板，同樣通過(guò)假設(shè)位移、電勢(shì)和 (或 )磁勢(shì)的適當(dāng)形式，導(dǎo)出了相應(yīng)的軸對(duì)稱解析解 [24]。 針對(duì)沿厚度方向材料常數(shù)任意變化的情形， Kaprielian 等及 Mian 等提出了一種非常有效的求解方法，即通過(guò)假設(shè)位移的適當(dāng)形式將三維問(wèn)題化為二維問(wèn)題以簡(jiǎn)化求解過(guò)程 。 但與經(jīng)典的板殼理論不同，在位移模式中含有很多與厚度坐標(biāo)有關(guān)的未知函數(shù)，因此可以考慮材料特性沿板厚的任意變化 。 但他們的研究?jī)H局限于各向同性材料，且板的上下表面沒(méi)有載荷作用 。 Yang 等推廣了非均勻材料 板的 Spence 分析方法，并求解了均布載荷作用下橫觀各向同性材料環(huán)板的位移和應(yīng)力場(chǎng)，從二維簡(jiǎn)化解構(gòu)造出相應(yīng)的材料沿厚度方向任意變化的圓環(huán)板的三維解 。 對(duì)于對(duì)邊簡(jiǎn)支矩形板的彎曲問(wèn)題，通過(guò)在級(jí)數(shù)項(xiàng)外引入適當(dāng)?shù)亩囗?xiàng)式項(xiàng)，一方面簡(jiǎn)化了求解，另一方面也加快了解的收斂 [37]。 張曉日等假設(shè)材料的力學(xué)和電學(xué)性質(zhì)沿板厚方向按統(tǒng)一的指數(shù)函數(shù)形式梯度分布，獲得了周 邊為廣義剛性滑動(dòng)和廣義簡(jiǎn)支兩種邊界條件下軸對(duì)稱功能梯度壓電圓板自 由振動(dòng)問(wèn)題的 精確頻率方程，數(shù)值求解不同板厚和不同梯度變化情況下的軸對(duì)稱圓板自 由振動(dòng)的固有頻率 。 Chen 等通過(guò)假設(shè)徑向位移和軸向位移的適當(dāng)形式，獲得了勻速旋轉(zhuǎn)的橫觀各向同性功能梯度圓板和圓環(huán)板問(wèn)題的解析解，該解可考慮材料參數(shù)沿厚度方向的任意分布情形 [14]。 Zhong 等假設(shè)材料的力學(xué)、電學(xué)和熱學(xué)性質(zhì)沿板厚方向按統(tǒng)一的指數(shù)函數(shù)形式梯度畢業(yè)論文 第 9 頁(yè) 共 35 頁(yè) 分布，獲得了四邊簡(jiǎn)支、接地和等溫的正交各向異性功能梯度壓電材料矩形板，在 上下表面作用機(jī)械載荷、電載荷和熱載荷情況下的三維靜力精確解。 Zhang 等對(duì)于任意的材料梯度分布形式，利用 Haar 小波級(jí)數(shù)展開(kāi)法，得到四邊簡(jiǎn)支功能梯度材料矩形板和功能梯度壓電材料矩形板彎曲問(wèn)題的三維 Haar 小波級(jí)數(shù)解。 Huang 等考察了雙參數(shù)地基對(duì)功能梯度材料板彎曲特性的影響，發(fā)現(xiàn)地基參數(shù)的變化對(duì)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布影響較大，尤其是對(duì)于較厚的梁板，地基參數(shù)越大，中性面的位置逐漸向加載的表面移動(dòng)，應(yīng)力分布也逐漸趨于緩和，即應(yīng)力水平逐漸減小 [46]。 高立名等采用分層法、 Frobenius 法和同倫分析法研究功能梯度平板表面波的傳播問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)表面波的兩種變化模式在功能梯度材料中的效應(yīng)是不同的 。 分層法雖然概念簡(jiǎn)單，但收斂速度較慢 ， Frobenius 法可以求出精確解，但求解過(guò)程繁瑣，而且對(duì)數(shù)值計(jì)算過(guò)程的精度要求比較高 。 同倫法可以求得包括 Frobenius 解的一般解，而且收斂速度和精度可以通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)來(lái)調(diào)整 。 潘永東等利用 Peano 級(jí)數(shù)展開(kāi)法研究功能梯度材料中波的傳播特性，求解了圓桿和圓管表面上功能梯度涂層的表面波頻散曲線，通過(guò)數(shù)值計(jì)算說(shuō)明了表面波頻散曲線對(duì)涂層材料聲速梯度分布的依賴性，為激光超聲實(shí)驗(yàn)測(cè)量表征材料梯度分布特性提供了理論依據(jù) 。 針對(duì)功能梯度材料厚板中波的傳播問(wèn)題，Chen 等提出了回傳射線矩陣分析方法 ， 采用均勻?qū)雍夏Ｐ蛯⒏飨蛲怨δ芴荻炔牧习鍎澐殖扇舾蓪?，在每層建立互反的兩個(gè)局部坐標(biāo)系并獲得層內(nèi)的相位關(guān)系， 根據(jù)界面處連續(xù)條件獲得散射關(guān)系，最終建立體系的回傳矩陣整體代數(shù)方程 。 由于采用了兩個(gè)局部坐標(biāo)系，該方法摒除了具有正實(shí)部指數(shù)的指數(shù)函數(shù)，從而在計(jì)算中避免了傳統(tǒng)狀態(tài)空問(wèn)法中普遍存在的大數(shù)相減，得到了絕對(duì)穩(wěn)定的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，表明回傳射線矩陣法對(duì)于結(jié)構(gòu)高頻振動(dòng)計(jì)算具有不可替代的優(yōu)越性 。 從上述最一般的理論出發(fā)，文獻(xiàn)對(duì)非均勻彈性桿、各向異性功能梯度板 (包括層合板 )和功能梯度壓電薄膜及其體波諧振器內(nèi)的波傳播問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究 [13]。 半解析半數(shù)值解 傳統(tǒng)的狀態(tài)空 間 法只能適用于具有特殊邊界條件 (如簡(jiǎn)支、滑支 )的 結(jié)構(gòu)的求解 。 為了克服這一限制，范家讓提出用疊加原理和廣義函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)展開(kāi)來(lái)求解具有固支和 自 由邊界的板殼結(jié)構(gòu)靜動(dòng)力響應(yīng)。 Chen 等針對(duì)復(fù)合材料梁板提出了一種有效的半解析半數(shù)值方法，該方法將狀態(tài)空 間 法和微分求積法結(jié)合在一起，在面內(nèi)采用微分求積法離散可以處理任意側(cè)面邊界條件，而在厚度方向采用狀態(tài)空 間 法進(jìn)行精確求解 。 該方畢業(yè)論文 第 10 頁(yè) 共 35 頁(yè) 法拓寬了彈性力學(xué)傳統(tǒng)狀態(tài)空問(wèn)法的求解范圍，可以用于分析層合和厚度方向功能梯度梁、板、殼結(jié)構(gòu)靜動(dòng)力問(wèn)題 。 Li 等利用該方法獲得了功能梯度層合梁以及壓電層合板在簡(jiǎn)支、固支、 自 由等邊界條件下的 自 由振動(dòng)與靜力彎曲問(wèn)題的解答 。 在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)微分求積法中點(diǎn)數(shù)取值較大時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一定的數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題，為此 Li 等采用 Nagem和 Williams 針對(duì)空 間 結(jié)構(gòu)分析提出的 耦 合節(jié)點(diǎn)矩陣法，進(jìn)行功能梯度梁的熱應(yīng)力分析和多跨板的振動(dòng)分析，克服了數(shù)值不穩(wěn)定的現(xiàn)象 [6]。 Nie 等對(duì)狀態(tài)空 間 法和微分求積法相結(jié)合的半解析半數(shù)值方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了將位移和位移的一階導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量的求解方法，與應(yīng)力和位移混合作為狀態(tài)變量的狀態(tài)空問(wèn)法相比較，更易處理某些邊界條件和圓板中心的正則性條件 。 利用該方法，研究了功能梯度圓板、圓環(huán)板 、扇形板在簡(jiǎn)支、固支、 自 由等各種邊界條件下的靜力響應(yīng)與 自 由振動(dòng)問(wèn)題 。 基于狀態(tài)空 間 的微分求積法還被推廣應(yīng)用于求解雙向功能梯度材料梁和雙向功能梯度材料圓板的分析 。 簡(jiǎn)化理論解 曹志遠(yuǎn)等人采用經(jīng)典板殼理論，獲得了各類功能梯度矩形板固有頻率與振型的解析解和各類功能梯度復(fù)合材料圓柱殼固有頻率的解析解 。 為了對(duì)更復(fù)雜條件下功能梯度梁、板、殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，必須發(fā)展適合于功能梯度材料特點(diǎn)的梁、板、殼簡(jiǎn)化理論 。 在各種高階板理論中， Soldatos 等提出的含有隨厚度坐標(biāo)變化的翹曲函數(shù)理論獨(dú)具優(yōu)勢(shì) 。 Bian 等將 Soldatos 層合板理論推廣用于功能梯度板的分析，構(gòu)造了狀態(tài)空 間 列式來(lái)確定翹曲函數(shù)的厚度方向分布，然后針對(duì) Soldatos 層合板理論構(gòu)造了狀態(tài)空 間 列式對(duì)單跨以及多跨柱形板的彎曲進(jìn)行求解 。 Li等針對(duì)功能梯度材料薄膜，基于經(jīng)典薄板假設(shè)，提出了考慮表面彈性的連續(xù)介質(zhì)模型 。 研究表明，對(duì)于給定的表面材料性質(zhì)，當(dāng)薄膜厚度減小到微米尺度時(shí)，其抗彎剛度和固有頻率表現(xiàn)出明顯的尺度效應(yīng)，并隨厚度的進(jìn)一步減小，表面效應(yīng)的影響越來(lái)越明顯 。 采用 Soldatos 板理論的位移假設(shè)，以表面力學(xué)基本方程代替經(jīng)典理論中表面剪應(yīng)力為零的約束 條件，確定 自 適應(yīng)形函數(shù)的具體形式，獲得了無(wú)限長(zhǎng)功能梯度材料薄膜的解析解 。 李堯臣等基于若干基本假設(shè)，提出了指數(shù)型功能梯度壓電材料圓板在軸對(duì)稱載荷作用下的簡(jiǎn)化理論與解析解，獲得了板的周邊固定或簡(jiǎn)支并接地情況下中性層法線轉(zhuǎn)角的解和用 FourierBessel 級(jí)數(shù)表示的電勢(shì)解，這個(gè)解有足夠的精度，在形式上