【正文】 )不同級別的目標的重要性是不可比的 。 即較高級別的目標沒有達到的損失 ， 任何較低級別目標上的收獲不可彌補 。 故在判斷最優(yōu)方案時 ， 首先從較高級別的目標達到的程度來決策 ， 然后再其次級目標的判斷 。 (3)同一級別的目標可以是多個 。 各自之間的重要程度可用數(shù)量 （ 權數(shù) ） 來描述 。 因此 ， 同一級別的目標的其中一個的損失 ， 可有其余目標的適當收獲來彌補 。 目標規(guī)劃的數(shù)學模型 三 .優(yōu)先因子 (優(yōu)先等級 )與優(yōu)先權系數(shù) 優(yōu)先因子 Pk是將決策目標按其重要程度排序并表示出來 。 P1P2… PkPk+1… PK ， k=1,2… ,K。 表示 Pk比 Pk+1有更大的優(yōu)先權 。 即首先保證 P1級目標的實現(xiàn) ， 這時可不考慮次級目標；而 P2級目標是在實現(xiàn) P1級目標的基礎上考慮的；依此類推 。 若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子的兩個目標的差別 ， 這時可分別賦予它們不同的權系數(shù) ωj,這些都由決策者按具體情況而定 。 目標規(guī)劃的數(shù)學模型 四 .達成函數(shù) (即目標規(guī)劃中的目標函數(shù) ) 目標規(guī)劃的目標函數(shù) (準則函數(shù) )是按各目標約束的正 、 負偏差變量和賦予相應的優(yōu)先因子及權系數(shù)而構造的 。 當每一目標值確定后 ， 決策者的要求是盡可能縮小偏離目標值 。因此目標規(guī)劃的目標函數(shù)只能是 minZ = f(d＋ 、 d－ )。 一般說來 ， 有以下三種情況 ， 但只能出現(xiàn)其中之一： (1)要求恰好達到規(guī)定的目標值 ， 即正 、 負偏差變量要盡可能小 ， 則 minZ = f(d＋ ＋ d－ )。 (2)要求不超過目標值 ， 即允許達不到目標值 ， 也就是正偏差變量盡可能小 ， 則 minZ = f(d＋ )。 (3)要求超過目標值 ， 即超過量不限 ， 但不低于目標值 ，也就是負偏差變量盡可能小 ， 則 minZ = f(d－ )。 對由絕對約束轉化而來的目標函數(shù) ， 也照上述處理即可 。 34 例： 甲乙產品的最優(yōu)生產計劃。 產品 資源 甲 乙 現(xiàn)有資源 設備 A 2 0 16 設備 B 0 2 10 設備 C 3 4 32 單位利潤 3 5 ? 根據(jù)市場需求 /合同規(guī)定： ? 希望盡量擴大甲產品 ? 減少乙產品產量 。 ? 又增加二個目標： maxZ1=3x1+5x2 maxZ2=x1 minZ3=x2 2x1 ≤16 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1， x2 ≥0 35 第二節(jié) 目標規(guī)劃的數(shù)學模型 例如 ? P1 級目標實現(xiàn)利潤至少 30元； ? P2級目標是甲乙產品的產量 假設：乙產品產量不少于 4件比甲產品產量不少于 6件更重要，取其權重為 2 minG= P1 d1 + P2(2d2 + d3 ) 3x1+5x2 +d1 d1+ = 30 x2 +d2 d2+ = 4 x1 + d3 d3+ = 6 x1 , x2 ,dk , dk+ ≥0(k=1,2,3) 目標規(guī)劃的數(shù)學模型 五 .多目標規(guī)劃的解 (1)若多目標規(guī)劃問題的解能使所有的目標都達到 ，就稱該解為多目標規(guī)劃的最優(yōu)解； (2)若解只能滿足部分目標 ， 就稱該解為多目標規(guī)劃的次優(yōu)解； (3)若找不到滿足任何一個目標的解 ， 就稱該問題為無解 。 (4)前面的目標可以保證實現(xiàn)或部分實現(xiàn) ， 而后面的目標就不一定能保證實現(xiàn)或部分實現(xiàn) ， 有些可能就不能實現(xiàn) ， 就稱該解為多目標規(guī)劃的 滿意解 (具有層次意義的解 ) 單目標規(guī)劃 例 52:某工廠生產 A， B兩種產品 ， 有關數(shù)據(jù)如下 。 實現(xiàn)目標利潤為 140萬元的最優(yōu)生產方案 A B 可用量 設備 (臺時 ) 4 2 60 原材料 (KG) 2 4 48 利潤 (萬元 ) 8 6 從決策者的角度看 ， 他希望超過利潤目標值 ， 若達不到 ， 也希望盡可能接近 ， 即負偏差最小 ? ? ? 0 , , 0 , 2 1 d d x x ? ? 48 4 2 2 1 x x ? ? 60 2 4 2 1 x x ? ? ? ? 140 6 8 2 1 d d x x ? ? ? ? ? ? ? st ? min d Z 級別相等的多目標規(guī)劃 例 53：若上例中假設決策者根據(jù)市場預測 ， 產品 A的銷售量有下降的趨勢 ， 故考慮實現(xiàn)下列兩個目標： (1)實現(xiàn)利潤目標 122萬元 (2)產品 A的產量不多于 10 分析 : ? 兩個目標級別相等 ， 即兩個目標的重要程度一樣 ，不存在誰優(yōu)先的問題 ? 設 d＋ ， d分別為超過目標值的部分 ， 以及未完成目標值的部分 ， 于是兩個目標可以等價表示為： 10 122 6 8 1 2 1 1 1 2 1 ? ? ? ? ? ? ? d d x d d x x 級別相等的多目標規(guī)劃 x1=10， x2=7， d－ 1＝ 0， d+2＝ 0，利潤為 122，兩個目標均已經(jīng)實現(xiàn) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 , , , , , 48 4 2 60 2 4 10 122 6 8 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 d d d d x x x x x x d d x d d x x st d d MinZ 具有優(yōu)先級別的多目標規(guī)劃 ? 對于多個目標 ， 如果有一定的優(yōu)先順序 ， 即第一位重要的目標 ， 其優(yōu)先因子為 P1， 第二位重要的目標 ， 其優(yōu)先因子為 P2， 并規(guī)定 P1P2 ? 優(yōu)先保證 P1級目標的實現(xiàn) ， 此時不考慮次級目標；次級目標 P2在實現(xiàn)了 P1級目標的基礎上再予以考慮 。 如果無法實現(xiàn) P1目標 ， 則不考慮 P2目標能否取得最優(yōu) ? 若有 k個不同優(yōu)先順序的目標 ， 則有 P1P2… Pk ? 將權重與偏差相乘構成目標函數(shù) ， 這樣 ， 權重越大 ，越先迫使相應的偏差等于零 ， 這樣可保證優(yōu)先級高的目標首先實現(xiàn) 。 具有優(yōu)先級別的多目標規(guī)劃 例 54：若上例中決策者擬訂下列經(jīng)營目標 ， 并確定了目標之間的優(yōu)先順序 P1級目標：充分利用設備有效臺時 ， 不加班； P2級目標：產品 B的產量不多于 4； P3級目標：實現(xiàn)利潤值 130萬元 分析：題目有三個目標層次 ， 包含三個目標值 。 第一目標： P1(d1＋ +d1) 第二目標： P2d2＋ 第二目標： P3d3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 , , , 48 4 2 130 6 8 4 60 2 4 ) ( 2 1 2 1 3 3 2 1 2 2 2 1 1 2 1 3 3 2 2 1 1 1 i i d d x x x x d d x x d d x d d x x st d P d P d d P MinZ 具有優(yōu)先級別的多目標規(guī)劃 例 55：某廠計劃下一個生產周期內生產甲 、 乙兩種產品 ，已知資料如表所示 。 制定生產計劃 ， 滿足下列目標： P1級目標：完成或超額完成利潤指標 50000元； P2級目標：產品甲不超過 200件 ， 產品乙不低于 250件； P3級目標：現(xiàn)有鋼材 3600噸必須用完 120 70 單件利潤 3000 10 3 設備臺時 2023 5 4 煤炭 3600 4 9 鋼材 資源限制 乙 甲 單位 產品 資源 消耗 具有優(yōu)先級別的多目標規(guī)劃 分析：題目有三個目標層次 ， 包含四個目標值 。 第一目標： P1d1 第二目標：有兩個要求即甲 d2＋ ， 乙 d3， 但兩個具有相同的優(yōu)先因子 ， 需要確定權系數(shù) 。 本題可用單件利潤比作為權系數(shù)即 70:120， 化簡為 7:12， P2(7d2＋ +12d3 ) 第三目標： P3(d4＋ +d4 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 , , , 3000 10 3 2023 5 4 3600 4 9 250 200 50000 120 70 ) ( ) 12 7 ( 2 1 2 1 2 1 4 4 2 1 3 3 2 2 2 1 1 1 2 1 4 4 3 3 2 2 1 1 i i d d x x x x x x d d x x d d x d d x d d x x st d d P d d P d P MinZ 六、目標規(guī)劃數(shù)學模型的一般形式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 5 5 ( 3 , 2 , 1 , 0 , ) 4 5 ( , , 1 , 0 ) 3 5 ( , , 1 , ) , ( ) 2 5 ( , , 1 , ) 1 5 ( ) ( min 1 1 1 1 k d