【正文】 )不同級(jí)別的目標(biāo)的重要性是不可比的 。 即較高級(jí)別的目標(biāo)沒有達(dá)到的損失 ， 任何較低級(jí)別目標(biāo)上的收獲不可彌補(bǔ) 。 故在判斷最優(yōu)方案時(shí) ， 首先從較高級(jí)別的目標(biāo)達(dá)到的程度來(lái)決策 ， 然后再其次級(jí)目標(biāo)的判斷 。 (3)同一級(jí)別的目標(biāo)可以是多個(gè) 。 各自之間的重要程度可用數(shù)量 （ 權(quán)數(shù) ） 來(lái)描述 。 因此 ， 同一級(jí)別的目標(biāo)的其中一個(gè)的損失 ， 可有其余目標(biāo)的適當(dāng)收獲來(lái)彌補(bǔ) 。 目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 三 .優(yōu)先因子 (優(yōu)先等級(jí) )與優(yōu)先權(quán)系數(shù) 優(yōu)先因子 Pk是將決策目標(biāo)按其重要程度排序并表示出來(lái) 。 P1P2… PkPk+1… PK ， k=1,2… ,K。 表示 Pk比 Pk+1有更大的優(yōu)先權(quán) 。 即首先保證 P1級(jí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn) ， 這時(shí)可不考慮次級(jí)目標(biāo)；而 P2級(jí)目標(biāo)是在實(shí)現(xiàn) P1級(jí)目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推 。 若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子的兩個(gè)目標(biāo)的差別 ， 這時(shí)可分別賦予它們不同的權(quán)系數(shù) ωj,這些都由決策者按具體情況而定 。 目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 四 .達(dá)成函數(shù) (即目標(biāo)規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù) ) 目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù) (準(zhǔn)則函數(shù) )是按各目標(biāo)約束的正 、 負(fù)偏差變量和賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子及權(quán)系數(shù)而構(gòu)造的 。 當(dāng)每一目標(biāo)值確定后 ， 決策者的要求是盡可能縮小偏離目標(biāo)值 。因此目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)只能是 minZ = f(d＋ 、 d－ )。 一般說(shuō)來(lái) ， 有以下三種情況 ， 但只能出現(xiàn)其中之一： (1)要求恰好達(dá)到規(guī)定的目標(biāo)值 ， 即正 、 負(fù)偏差變量要盡可能小 ， 則 minZ = f(d＋ ＋ d－ )。 (2)要求不超過(guò)目標(biāo)值 ， 即允許達(dá)不到目標(biāo)值 ， 也就是正偏差變量盡可能小 ， 則 minZ = f(d＋ )。 (3)要求超過(guò)目標(biāo)值 ， 即超過(guò)量不限 ， 但不低于目標(biāo)值 ，也就是負(fù)偏差變量盡可能小 ， 則 minZ = f(d－ )。 對(duì)由絕對(duì)約束轉(zhuǎn)化而來(lái)的目標(biāo)函數(shù) ， 也照上述處理即可 。 34 例： 甲乙產(chǎn)品的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃。 產(chǎn)品 資源 甲 乙 現(xiàn)有資源 設(shè)備 A 2 0 16 設(shè)備 B 0 2 10 設(shè)備 C 3 4 32 單位利潤(rùn) 3 5 ? 根據(jù)市場(chǎng)需求 /合同規(guī)定： ? 希望盡量擴(kuò)大甲產(chǎn)品 ? 減少乙產(chǎn)品產(chǎn)量 。 ? 又增加二個(gè)目標(biāo)： maxZ1=3x1+5x2 maxZ2=x1 minZ3=x2 2x1 ≤16 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1， x2 ≥0 35 第二節(jié) 目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 例如 ? P1 級(jí)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)至少 30元； ? P2級(jí)目標(biāo)是甲乙產(chǎn)品的產(chǎn)量 假設(shè)：乙產(chǎn)品產(chǎn)量不少于 4件比甲產(chǎn)品產(chǎn)量不少于 6件更重要，取其權(quán)重為 2 minG= P1 d1 + P2(2d2 + d3 ) 3x1+5x2 +d1 d1+ = 30 x2 +d2 d2+ = 4 x1 + d3 d3+ = 6 x1 , x2 ,dk , dk+ ≥0(k=1,2,3) 目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 五 .多目標(biāo)規(guī)劃的解 (1)若多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的解能使所有的目標(biāo)都達(dá)到 ，就稱該解為多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解； (2)若解只能滿足部分目標(biāo) ， 就稱該解為多目標(biāo)規(guī)劃的次優(yōu)解； (3)若找不到滿足任何一個(gè)目標(biāo)的解 ， 就稱該問(wèn)題為無(wú)解 。 (4)前面的目標(biāo)可以保證實(shí)現(xiàn)或部分實(shí)現(xiàn) ， 而后面的目標(biāo)就不一定能保證實(shí)現(xiàn)或部分實(shí)現(xiàn) ， 有些可能就不能實(shí)現(xiàn) ， 就稱該解為多目標(biāo)規(guī)劃的 滿意解 (具有層次意義的解 ) 單目標(biāo)規(guī)劃 例 52:某工廠生產(chǎn) A， B兩種產(chǎn)品 ， 有關(guān)數(shù)據(jù)如下 。 實(shí)現(xiàn)目標(biāo)利潤(rùn)為 140萬(wàn)元的最優(yōu)生產(chǎn)方案 A B 可用量 設(shè)備 (臺(tái)時(shí) ) 4 2 60 原材料 (KG) 2 4 48 利潤(rùn) (萬(wàn)元 ) 8 6 從決策者的角度看 ， 他希望超過(guò)利潤(rùn)目標(biāo)值 ， 若達(dá)不到 ， 也希望盡可能接近 ， 即負(fù)偏差最小 ? ? ? 0 , , 0 , 2 1 d d x x ? ? 48 4 2 2 1 x x ? ? 60 2 4 2 1 x x ? ? ? ? 140 6 8 2 1 d d x x ? ? ? ? ? ? ? st ? min d Z 級(jí)別相等的多目標(biāo)規(guī)劃 例 53：若上例中假設(shè)決策者根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè) ， 產(chǎn)品 A的銷售量有下降的趨勢(shì) ， 故考慮實(shí)現(xiàn)下列兩個(gè)目標(biāo)： (1)實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)目標(biāo) 122萬(wàn)元 (2)產(chǎn)品 A的產(chǎn)量不多于 10 分析 : ? 兩個(gè)目標(biāo)級(jí)別相等 ， 即兩個(gè)目標(biāo)的重要程度一樣 ，不存在誰(shuí)優(yōu)先的問(wèn)題 ? 設(shè) d＋ ， d分別為超過(guò)目標(biāo)值的部分 ， 以及未完成目標(biāo)值的部分 ， 于是兩個(gè)目標(biāo)可以等價(jià)表示為： 10 122 6 8 1 2 1 1 1 2 1 ? ? ? ? ? ? ? d d x d d x x 級(jí)別相等的多目標(biāo)規(guī)劃 x1=10， x2=7， d－ 1＝ 0， d+2＝ 0，利潤(rùn)為 122，兩個(gè)目標(biāo)均已經(jīng)實(shí)現(xiàn) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 , , , , , 48 4 2 60 2 4 10 122 6 8 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 d d d d x x x x x x d d x d d x x st d d MinZ 具有優(yōu)先級(jí)別的多目標(biāo)規(guī)劃 ? 對(duì)于多個(gè)目標(biāo) ， 如果有一定的優(yōu)先順序 ， 即第一位重要的目標(biāo) ， 其優(yōu)先因子為 P1， 第二位重要的目標(biāo) ， 其優(yōu)先因子為 P2， 并規(guī)定 P1P2 ? 優(yōu)先保證 P1級(jí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn) ， 此時(shí)不考慮次級(jí)目標(biāo)；次級(jí)目標(biāo) P2在實(shí)現(xiàn)了 P1級(jí)目標(biāo)的基礎(chǔ)上再予以考慮 。 如果無(wú)法實(shí)現(xiàn) P1目標(biāo) ， 則不考慮 P2目標(biāo)能否取得最優(yōu) ? 若有 k個(gè)不同優(yōu)先順序的目標(biāo) ， 則有 P1P2… Pk ? 將權(quán)重與偏差相乘構(gòu)成目標(biāo)函數(shù) ， 這樣 ， 權(quán)重越大 ，越先迫使相應(yīng)的偏差等于零 ， 這樣可保證優(yōu)先級(jí)高的目標(biāo)首先實(shí)現(xiàn) 。 具有優(yōu)先級(jí)別的多目標(biāo)規(guī)劃 例 54：若上例中決策者擬訂下列經(jīng)營(yíng)目標(biāo) ， 并確定了目標(biāo)之間的優(yōu)先順序 P1級(jí)目標(biāo)：充分利用設(shè)備有效臺(tái)時(shí) ， 不加班； P2級(jí)目標(biāo)：產(chǎn)品 B的產(chǎn)量不多于 4； P3級(jí)目標(biāo)：實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)值 130萬(wàn)元 分析：題目有三個(gè)目標(biāo)層次 ， 包含三個(gè)目標(biāo)值 。 第一目標(biāo)： P1(d1＋ +d1) 第二目標(biāo)： P2d2＋ 第二目標(biāo)： P3d3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 , , , 48 4 2 130 6 8 4 60 2 4 ) ( 2 1 2 1 3 3 2 1 2 2 2 1 1 2 1 3 3 2 2 1 1 1 i i d d x x x x d d x x d d x d d x x st d P d P d d P MinZ 具有優(yōu)先級(jí)別的多目標(biāo)規(guī)劃 例 55：某廠計(jì)劃下一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲 、 乙兩種產(chǎn)品 ，已知資料如表所示 。 制定生產(chǎn)計(jì)劃 ， 滿足下列目標(biāo)： P1級(jí)目標(biāo)：完成或超額完成利潤(rùn)指標(biāo) 50000元； P2級(jí)目標(biāo)：產(chǎn)品甲不超過(guò) 200件 ， 產(chǎn)品乙不低于 250件； P3級(jí)目標(biāo)：現(xiàn)有鋼材 3600噸必須用完 120 70 單件利潤(rùn) 3000 10 3 設(shè)備臺(tái)時(shí) 2023 5 4 煤炭 3600 4 9 鋼材 資源限制 乙 甲 單位 產(chǎn)品 資源 消耗 具有優(yōu)先級(jí)別的多目標(biāo)規(guī)劃 分析：題目有三個(gè)目標(biāo)層次 ， 包含四個(gè)目標(biāo)值 。 第一目標(biāo)： P1d1 第二目標(biāo)：有兩個(gè)要求即甲 d2＋ ， 乙 d3， 但兩個(gè)具有相同的優(yōu)先因子 ， 需要確定權(quán)系數(shù) 。 本題可用單件利潤(rùn)比作為權(quán)系數(shù)即 70:120， 化簡(jiǎn)為 7:12， P2(7d2＋ +12d3 ) 第三目標(biāo)： P3(d4＋ +d4 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 , , , 3000 10 3 2023 5 4 3600 4 9 250 200 50000 120 70 ) ( ) 12 7 ( 2 1 2 1 2 1 4 4 2 1 3 3 2 2 2 1 1 1 2 1 4 4 3 3 2 2 1 1 i i d d x x x x x x d d x x d d x d d x d d x x st d d P d d P d P MinZ 六、目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 5 5 ( 3 , 2 , 1 , 0 , ) 4 5 ( , , 1 , 0 ) 3 5 ( , , 1 , ) , ( ) 2 5 ( , , 1 , ) 1 5 ( ) ( min 1 1 1 1 k d