【正文】 … ， n，且有 = k=0,1,2… ， n 其中 p＞ 0， q＞ 0， p+q=1， 則稱隨機(jī)變量 x服從參數(shù)為 n和 p的二項(xiàng)分布 (binomial distribution)，記為 x～ B(n， p)。二二 項(xiàng)項(xiàng) 分布是一種離散型隨機(jī)變量的概率分布。參數(shù)分布是一種離散型隨機(jī)變量的概率分布。參數(shù) n稱為離散參稱為離散參數(shù)數(shù) ， 只能取正整數(shù)；只能取正整數(shù)； p 是連續(xù)參數(shù)，它能取是連續(xù)參數(shù)，它能取 0與與 1之間的任何數(shù)之間的任何數(shù)值值 (q由由 p確定，故不是另一個(gè)獨(dú)立參數(shù)確定，故不是另一個(gè)獨(dú)立參數(shù) )。27n值不同的二項(xiàng)分布比較28 （ 2）當(dāng) p 值 趨 于 時(shí) ，分 布 趨于對(duì)稱， 如圖 所示； （ 3）對(duì)于固定的 n及 p，當(dāng) k增加時(shí)， Pn(k)先隨之增加并達(dá)到其極大值，以后又下降。 （ 4）在 n較大， np、 nq 較接近時(shí) ，二項(xiàng)分布接近于正態(tài)分布；當(dāng) n→ ∞ 時(shí)，二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布。 二項(xiàng)分布由 n和 p兩個(gè)參數(shù)決定，其特點(diǎn)是： （ 1）當(dāng) p值較小且 n不大時(shí) ，分 布 是偏倚的。但隨著 n的增大 ，分布逐漸趨于對(duì)稱，如 圖 所示； 29 p值不同的二項(xiàng)分布比較30 二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件： （ 1）各觀察單位 只具有相互對(duì)立 的一種結(jié)果，如合格或不合格， 生存或死亡等等，非此即彼； （ 2）已知發(fā)生某一結(jié)果 (如死亡 ) 的概率為 p，其對(duì)立結(jié)果的概率則為 1P=q，實(shí)際中要求 p 是從大量觀察中獲得的比較穩(wěn)定的數(shù)值； （ 3） n次觀察結(jié)果互相獨(dú)立，即每個(gè)觀察單位的觀察結(jié)果不會(huì)影響到其它觀察單位的觀察結(jié)果。31波松分布（ Poisson） 波松分布是一種 可以用來(lái)描述和分析隨機(jī)地發(fā)生在單位空間或 時(shí)間里的稀有事件的概率分布。要觀察到這類事件，樣本含量 n 必須很大 。 所謂稀有事件即是小概率事件。在生物、醫(yī)學(xué)等研究中，服從波松分布的隨機(jī)變量也是常見(jiàn)的。例如，正常生產(chǎn)線中單位事件生產(chǎn)出不合格產(chǎn)品個(gè)數(shù)，單位事件內(nèi)機(jī)器出現(xiàn)故障的次數(shù)，每升飲水中大腸桿菌數(shù)，計(jì)數(shù)器小方格中血球數(shù)， 一批香腸中含有毛發(fā)的香腸數(shù)， 1000袋面粉中含有金屬物的袋數(shù)等等，都是服從或近似服從波松分布的。 32波松分布的定義 若隨機(jī)變量 x(x=k)所有可能取值是非負(fù)整數(shù)，且其概率分布為 其中 λ＞ 0； e=… ，則 稱 x 服 從 參 數(shù) 為 λ 的 波 松分布(Poisson‘s distribution)，記 為 x～ P(λ)。 k=0， 1， ……33 λ是波松分布所依賴的唯一參數(shù)。 λ值愈小分布愈偏倚，隨著 λ的增大 ，分 布趨于對(duì)稱 (如 圖 所示 )。當(dāng) λ= 20時(shí)分布接近于正態(tài)分布；當(dāng) λ=50時(shí)， 可以認(rèn) 為波松分布呈正態(tài)分布。 所以在實(shí)際工作中，當(dāng) λ≥20時(shí)就可以用正態(tài)分布來(lái)近似地處理波松分布的問(wèn)題。波松分布重要的特征波松分布重要的特征 波松分布為離散型隨機(jī)變量的概率分布波松分布為離散型隨機(jī)變量的概率分布，其平均數(shù)和方差相等，都等于常數(shù)，其平均數(shù)和方差相等，都等于常數(shù) λ，即，即 μ=σ2=λ34不同 λ的泊松分布 35波松分布的概率計(jì)算 由波松分布的概率計(jì)算公式可以看出，依賴于參數(shù) λ的確定，只要參數(shù) λ確定了 ，把 k=0，1， 2， … 代入即可求得各項(xiàng)的概率。 但是在大多數(shù)服從波松分布的實(shí)例中，分布參數(shù) λ往往是未知的，只能從所觀察的隨機(jī)樣本中計(jì)算出相應(yīng)的樣本平均數(shù)作為 λ 的 估計(jì)值，將其代替計(jì)算公式中的 λ，計(jì)算出 k = 0， 1， 2， … 時(shí)的各項(xiàng)概率。 36隨機(jī)變量常見(jiàn)概率分布正態(tài)分布（ normal distribution） 正態(tài)分布是一種很重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。自然現(xiàn)象中有許多變量是服從或近似服從正態(tài)分布的。如瓶裝食品的重量、分析測(cè)定過(guò)程中的隨機(jī)誤差等等。許多統(tǒng)計(jì)分析方法都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。因此在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，正態(tài)分布無(wú)論在理論研究上還是實(shí)際應(yīng)用中，均占有十分重要的地位。37 對(duì)于波松分布，當(dāng) λ→ ∞ 時(shí) ，波松分布以正態(tài)分布為極限。在實(shí)際計(jì)算中， 當(dāng) λ≥20 (也有人認(rèn)為 λ≥6)時(shí)，用波松分布中的 λ代替正態(tài)分布中的 μ及 σ2 ，即可由后者對(duì)前者進(jìn)行近似計(jì)算。 38正態(tài)分布的定義及其特征 1. 正態(tài)分布的定義 若連續(xù)型隨機(jī)變量 x的 概率分布密度函數(shù) 為 其中 μ為平均數(shù)， σ2為方差，則稱隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布，記為 x～ N(μ,σ2)。相應(yīng)的 概率分布函數(shù) 為 (312)39 分布密度曲線如圖所示。分布密度曲線如圖所示。 正態(tài)分布密度（函數(shù)）曲線正態(tài)分布密度（函數(shù)）曲線 40 2. 正態(tài)分布的特征 （ 1）正態(tài)分布密度曲線是單峰、對(duì)稱的懸鐘形曲線，對(duì)稱軸為 x=μ； （ 2） f(x) 在 x =μ 處達(dá)到極大 ，極大值 （ 3） f(x)是非負(fù)函數(shù)，以 x軸為漸近線，分布從 ∞ 至 +∞ ； 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 ；；41 （ 4）曲線在 x=μ177。σ處各有一個(gè)拐點(diǎn)，即曲線在 (∞,μσ) 和 (μ+σ,+∞) 區(qū)間上是下凸的，在 [μσ,μ+σ]區(qū)間內(nèi)是上凸的；（ 5）正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即平均數(shù) μ和標(biāo)準(zhǔn)差 σ。 μ是位置參數(shù)，當(dāng) σ恒定時(shí)， μ愈大，則曲線沿 x軸愈向右移動(dòng)；反之， μ愈小，曲線沿 x軸愈向左移動(dòng)。 σ是形狀參數(shù)， 當(dāng) μ恒定時(shí)， σ愈大，表示 x 的取值愈分散， 曲線愈 “胖 ”； σ愈小， x的取值愈集中在 μ附近，曲線愈 “瘦 ”。42σ相同而相同而 μ不同的不同的 3個(gè)正態(tài)分布比較個(gè)正態(tài)分布比較43μ相同而相同而 σ不同的不同的 3個(gè)正態(tài)分布比較大個(gè)正態(tài)分布比較大44 （ 6）分布密度曲線與橫軸所圍成的區(qū)間面積為 1，即： （（ 7）） 正態(tài)分布的次數(shù)多數(shù)集中在平均數(shù)正態(tài)分布的次數(shù)多數(shù)集中在平均數(shù)μ的附近，離均數(shù)越遠(yuǎn)，其相應(yīng)次數(shù)越少，的附近，離均數(shù)越遠(yuǎn)，其相應(yīng)次數(shù)越少，在在 3σ以外的極少，這就是以外的極少，這就是 3σ 原理的基原理的基礎(chǔ)。礎(chǔ)。45 正態(tài)分布是依賴于參數(shù) μ和 σ2 (或 σ) 的一簇 分布，正態(tài)曲線的位置及形態(tài)隨 μ和 σ2的不同而不同 。這就給研究具體的正態(tài)總體帶來(lái)困難， 通常將一般的 N(μ， σ2) 轉(zhuǎn) 換為 μ= 0,σ2=1的正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 μ=0,σ2=1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standard normal distribution)。46 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)分別記作 ψ(u)和 Φ(u)，下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 μμ ＝＝ 0σσ ＝＝ 147 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作 u～～ N(0， 1)，分布密度曲線如圖所示。，分布密度曲線如圖所示。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線 48 對(duì)于任何一個(gè)服從正態(tài)分布 N(μ,σ2)的隨機(jī)變量 x，都可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化變換， u=(xμ)／ σ 將其變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量 u。 u稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差。 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 x～～ N(μ,σ2) x～～ N(0,1)u=(xμ)／／ σ49正態(tài)分布的概率計(jì)算 1. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算 設(shè) u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則 u在 [u1， u2 ）內(nèi)取值的概率為： ＝ Φ(u2)－ Φ(u1) Φ(u1)與 Φ(u2)可由附表 1查得。 50 【例】 已知 u～ N(0， 1)，試求： (1) P(u＜ )＝ ? (2) P (u≥)=? (3) P (｜ u｜ ≥)=? (4) P(≤u＜ ) =? 51 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率計(jì)算式及正態(tài)分布的對(duì)稱性可推出下列關(guān)系式： P(0≤u＜ u1)＝ P(u≥u1) = P(｜ u｜ ≥u1)= P(｜ u｜＜ u1 ） ＝ P(u1≤u＜ u2)＝Φ(u1)Φ(u1)2 Φ(u1)(317)12 Φ(u1)Φ(u2)Φ(u1)52 (1) P(u＜ )= (2) P (u≥)=Φ()= (3) P (｜ u｜ ≥) =2Φ()=2 = (4) P (≤u＜ ) =Φ()Φ() ==下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 53 2. 一般正態(tài)分布的概率計(jì)算 若隨機(jī)變量 x服從正態(tài)分布 N(μ,σ2)，則 x的取值落在任意區(qū)間 [x1, x2） 的概率 ，記作P(x1≤ x ＜ x2)，等于圖 3—8 中陰影部分的面積。即：正態(tài)分布的概率54 作變換 u=(xμ)／ σ故有(318)其中，其中，55 表明服從正態(tài)分布 N(μ,σ2)的隨機(jī)變量 x 在 [ x1 ， x2 ）內(nèi)取值的概率 ，等于服從標(biāo)準(zhǔn) 正態(tài)分布的隨機(jī)變量 u 在[(x1μ)/σ, (x2μ)/σ）內(nèi)取值的概率 。 因此，計(jì)算一般正態(tài)分布的概率時(shí)， 只要將原區(qū)間的上下限作適當(dāng)變換 (標(biāo)準(zhǔn)化 )， 就可用查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表的方法求取某一區(qū)間的概率。 56【例【例 38】】 P53 已知已知 x～～ N（（ 100， 22），試），試求求 P(100≤x＜＜ 102)＝？。＝？。 =P(0≤u＜＜ 1)=Φ(1)Φ(0)= ＝＝ 57 【例】 設(shè) x服從 μ=,σ2=，試求P(≤x＜ )。 令 則 u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故 =P(≤u＜ ) =Φ()Φ() = = 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 58 前面討論的三個(gè)重要的概率分布中，前兩個(gè)屬離散型隨機(jī)變量的概率分布，后一個(gè)屬連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。 三者間的關(guān)系如下： 對(duì)于二項(xiàng)分布，在 n→∞, p→0 ， 且 n p =λ( 較小常數(shù) )情況下 ，二項(xiàng)分布趨于波松分布。在這種場(chǎng)合，波松分布中的參數(shù) λ 用二項(xiàng)分布的 n p代之；在n→∞, p→ 時(shí)，二項(xiàng)分布趨于正態(tài)分布。在這種場(chǎng)合 ，正態(tài)分布中的 μ 、 σ 2用二項(xiàng)分布的 n p、 n p q代之。在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng) p＜ n 很大時(shí)，二項(xiàng)分布可由波松分布近似；當(dāng) p＞ n很大時(shí)，二項(xiàng)分布可由正態(tài)分布近似。 59檢驗(yàn) 是用計(jì)量、測(cè)定、試驗(yàn)等方法對(duì)檢驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行測(cè)試，將其結(jié)果與質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，做出合格與否的判定，對(duì)能否適合下道工序使用或能否提供給用戶做出處理的決策過(guò)程。抽樣檢驗(yàn)的基本概念60檢驗(yàn)的類型全數(shù)檢驗(yàn)所謂全數(shù)檢驗(yàn)就是對(duì)全部產(chǎn)品逐個(gè)地進(jìn)行測(cè)定，從而判定每個(gè)產(chǎn)品合格與否的檢驗(yàn)。它又稱全面檢驗(yàn)、 100%檢驗(yàn)。其處理對(duì)象是每個(gè)產(chǎn)品。 全數(shù)檢驗(yàn)的適用場(chǎng)合（ 1） 生產(chǎn)過(guò)程不能保證達(dá)到預(yù)先規(guī)定的質(zhì)量水平，不合格品率大時(shí)。（ 2）不合格的產(chǎn)品會(huì)造成嚴(yán)重的不良后果，如果漏檢有可能造成人身事故或?qū)ο碌拦ば蚧蛳M(fèi)者帶來(lái)重大損失 ，必須進(jìn)行全數(shù)檢驗(yàn) 。 如彩電、冰箱等家電的耐壓特性。 （ 3）條件允許，能容易地進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn) ,且費(fèi)用低廉。 61（ 4）批量比較少，且批的大小和樣本大小接近，沒(méi)有必要進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)（ 5）同檢驗(yàn)費(fèi)用相比，產(chǎn)品價(jià)值特別昂貴，應(yīng)進(jìn)行全數(shù)檢驗(yàn)如：飛機(jī)等全數(shù)檢驗(yàn)的缺點(diǎn)（ 1）有些產(chǎn)品的檢驗(yàn)具有破壞性（ 2）有些產(chǎn)品的產(chǎn)量很大，對(duì)其進(jìn)行全數(shù)檢驗(yàn)需花費(fèi)大量的人力、物力、財(cái)力，不經(jīng)濟(jì)（ 3）在數(shù)量多、速度快、時(shí)間長(zhǎng)等情況下，全數(shù)檢驗(yàn)容易產(chǎn)生錯(cuò)檢和漏檢。（ 4）全數(shù)檢驗(yàn)是一種消極的檢驗(yàn)方法，不能引起生產(chǎn)者對(duì)產(chǎn)品